C'est une application directe du théorème suivant :
$E=C([0,1]) \times [0,1]$, $d=max(||.||_\infty,|.|)$, $A=\mathbb Q[x] \times ([0,1] \cap \mathbb Q)$ et $C=\{ (f_i,i) ; i \in I \}$6
$(E,d)$ ensemble métrique avec $A=\{a_n \in E, n\in\mathbb N \}$ dense dans $E$, et $C$ un sous-ensemble de $E$ infini et indénombrable.
Alors $C$ posséde un point d'accumulation.
Justification :
Si $C$ sans point d'accumulation, alors $\forall c \in C, \exists e_c>0, B(c,e_c)$ boule ouverte tel que
$\forall c \in C, B(c,e_c) \cap C-\{c\}=\emptyset $
Par densité de $A$ on a $\forall c \in C, \exists n_c \in \mathbb N, a_{n_c} \in B(c,e_c/4)$
Les $a_{n_c}$ distinct pour $c$ distinct, car les $B(c,e_c/4)$ disjointes
donc les $a_{n_c}$ sont indénombrable, absurde car les $a_{n_c}$ sont dans $A$ qui est dénombrable.
CQFD.
PS : l'intérêt du théorème c'est que vous pouvez le montrer en 5 lignes, et alors vous pouvez l'utiliser pour vous aidez à l'oral.
Maintenant vous pouvez prouver sans difficulté que si $f$ fonction réelle quelconque alors il existe une suite réelle $(x_n)$ injective tel que $f(x_n)$ tende vers $f(t)$ avec $x_n$ qui tend vers $t$.