Je ne vois pas pourquoi (pour le donc en rouge).
Exos sympas MP(*)
Re: Exos sympas MP(*)
Re: Exos sympas MP(*)
Si a€dZ, il s'écrit a=kd pour un certain k€Z et P(a)=Q(k-d^2) avec k-d^2 qui appartient à Z, d'où le résultat escompté avec l'hypothèse Q(Z) inclus dans Z
Re: Exos sympas MP(*)
Je vous en propose 2 de plus que je trouve joli :
Déterminer, les $p\in\mathbb N,p<100$ tel que
$U_p=\sum \limits_{n\geq 0} p^n \times 10^{-n^2}$ soit un nombre univers en base 10.
On considère l'algo récursif suivant :
Soit $(a,b)\in\mathbb R^*_+$
1/ Déterminer une CNS, en la justifiant, sur $(a,b)$ pour que l'algo s'arrête.
2/ Dans le cas où l'algo s'arrête déterminer, en la justifiant, la valeur de $PGCD(a,b)$ en fonction de $a$ et $b$.
En bon français ces questions reviennent à se demander si on peut définir sur tous les réels un pgcd.
edit : erreur dans le code du pgcd
Déterminer, les $p\in\mathbb N,p<100$ tel que
$U_p=\sum \limits_{n\geq 0} p^n \times 10^{-n^2}$ soit un nombre univers en base 10.
On considère l'algo récursif suivant :
Code : Tout sélectionner
PGCD:=proc(a,b)
if(a=b) then RETRUN(a);
elif(a<b) then PGCD(a,b-a);
else PGCD(a-b,b);
1/ Déterminer une CNS, en la justifiant, sur $(a,b)$ pour que l'algo s'arrête.
2/ Dans le cas où l'algo s'arrête déterminer, en la justifiant, la valeur de $PGCD(a,b)$ en fonction de $a$ et $b$.
En bon français ces questions reviennent à se demander si on peut définir sur tous les réels un pgcd.
edit : erreur dans le code du pgcd
Dernière modification par Contrexemple le 06 août 2021 19:55, modifié 1 fois.
Re: Exos sympas MP(*)
Celui là est ancien, je le re-mets ici et donnerais,, ma solution, si personne ne la trouve, dans le fil sur les démo élégantes.
On pose $G=\mathbb Z / 6^{100}\mathbb Z$
Pour $a,b\in\mathbb N \cap [0,100]$ on note : $A_{a+b\times 101}$ le sous-groupe de $G$ d'ordre $2^a \times 3^b$ .
Calculer $\text{card}(\bigcup \limits_{i=1}^{100} A_{11^i \mod 101^2})$.
On pose $G=\mathbb Z / 6^{100}\mathbb Z$
Pour $a,b\in\mathbb N \cap [0,100]$ on note : $A_{a+b\times 101}$ le sous-groupe de $G$ d'ordre $2^a \times 3^b$ .
Calculer $\text{card}(\bigcup \limits_{i=1}^{100} A_{11^i \mod 101^2})$.
Re: Exos sympas MP(*)
Si $X=dY, Y \in \mathbb Z$ alors $\dfrac{X-d^3}d \in \mathbb Z$.
Le plus simple est peut être d'écrire $P(dY)=Q(Y-d^2)$ sinon
PCSI ; MP* ; ENS de Lyon
Re: Exos sympas MP(*)
@Mourien : Ok, c'est moi qui avait mal compris.
Re: Exos sympas MP(*)
Bonjour,
$ M_g=(x_1\times x_2...x_n)^{\dfrac{1} {n} }, M_a=(x_1+...+x_n)\times \dfrac{1}{n} $
A-t-on $ |M_a-M_g|\leq \dfrac{ \max(x_i)} {\min(x_i) }\times ( \dfrac{1}{n^2}\times \sum \limits_{(i, j) \in \{1,...,n\}^2} |x_i-x_j|) $?
Ps : c'est bien une question niveau recherche (avec une réponse astucieuse de niveau prépas) :
https://mathoverflow.net/questions/4062 ... -am-and-gm
Bon courage.
$ M_g=(x_1\times x_2...x_n)^{\dfrac{1} {n} }, M_a=(x_1+...+x_n)\times \dfrac{1}{n} $
A-t-on $ |M_a-M_g|\leq \dfrac{ \max(x_i)} {\min(x_i) }\times ( \dfrac{1}{n^2}\times \sum \limits_{(i, j) \in \{1,...,n\}^2} |x_i-x_j|) $?
Ps : c'est bien une question niveau recherche (avec une réponse astucieuse de niveau prépas) :
https://mathoverflow.net/questions/4062 ... -am-and-gm
Bon courage.
Re: Exos sympas MP(*)
Bonjour,
Un nouvelle énigme niveau recherche :
Soient $u_0=6, u_1=4$ et $u_{n+2}=\dfrac{u_{n+1}+u_{n}}{1+u_n\times u_{n+1}} \mod 2^{100}$.
Calculer $u_{3^{2021}}$.
https://mathoverflow.net/questions/4084 ... impossible
Ps : bien sûr il existe une réponse niveau Mp*, mais vraiment très astucieuse.
Bonne journée.
Un nouvelle énigme niveau recherche :
Soient $u_0=6, u_1=4$ et $u_{n+2}=\dfrac{u_{n+1}+u_{n}}{1+u_n\times u_{n+1}} \mod 2^{100}$.
Calculer $u_{3^{2021}}$.
https://mathoverflow.net/questions/4084 ... impossible
Ps : bien sûr il existe une réponse niveau Mp*, mais vraiment très astucieuse.
Bonne journée.
Re: Exos sympas MP(*)
Salut
Soient $p, q$ nombres premiers tel que $q|2^p-1$. A-t-on $q>p$?
Soient $p, q$ nombres premiers tel que $q|2^p-1$. A-t-on $q>p$?