Théorème de Burnside (Sous-algèbre irréductible)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Théorème de Burnside (Sous-algèbre irréductible)

Message par Tristan33 » 20 avr. 2020 19:59

Bonjour tout le monde,
je me suis intéressé à une partie de Centrale 2019 PC, la dernière partie de MATHS 1 concernant le théorème de Burnside,
http://www.concours-centrale-supelec.fr ... s/M018.pdf

Mon problème est que je n'arrive pas à conclure (question 40)

ça m'arrangerait beaucoup que l'application suivante soit surjective :
$
\begin{array}{ccccc}
\psi_i & : & A & \to & L(E, Vect(\varepsilon_i)) \\
& & u & \mapsto & u_i \circ u \\
\end{array}
$

mais je ne parviens pas à le montrer :(
Si qq'un peut jeter un coup d'oeil, je lui en serai reconnaissant
Merci

Voici ma piste néanmoins :
$
Soit~v \in L(E, Vect(\varepsilon_i)).
$
On écrit :
$
v = f \varepsilon_i
$
où f désigne une forme linéaire. Alors :
$
v = u_i \circ f \varepsilon_1
$
Mais le problème est que
$
f \varepsilon_1
$
n'est pas nécessairement un élément de A. En tout cas , je ne parviens pas à le montrer....

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Re: Théorème de Burnside (Sous-algèbre irréductible)

Message par JeanN » 22 avr. 2020 11:59

La réponse que je connais consiste à montrer un résultat similaire à celui de la question 36 :
Pour toute forme linéaire non nulle $\phi$ et pour tout forme linéaire $\psi$, il existe $a\in A$ tel que $\psi=\phi\circ a$ (on peut par exemple le démontrer matriciellement mais c'est assez loin d'être trivial).
Après, combiné avec la question 36, l'existence d'un élément de rang 1 et la représentation classique des endomorphismes de rang 1, il n'est plus très difficile de montrer que A contient tous les éléments de rang $1$ et donc $A=L(E)$.

J'avoue que je ne vois pas trop comment répondre à la question dans l'esprit du problème. N'y a-t-il pas un corrigé qui traine quelque part ?

Edit : j'ai été consulter la correction faite par un collègue pour le site de l'ups. Je pense que la question fait office de question barrage pour éviter qu'un candidat termine le sujet.
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Re: Théorème de Burnside (Sous-algèbre irréductible)

Message par Tristan33 » 22 avr. 2020 12:35

Bonjour,
merci pour votre réponse.

Concernant un corrigé de l'épreuve, le seul présent sur internet est celui de prepamag mais il est payant. Néanmoins ils mettent les indications gratuitement : https://www.prepamag.fr/concours/dl.htm ... ALE_1_2019

(Ici pour voir les indications : https://www.prepamag.fr/concours/img/co ... w980px.jpg)

Sinon j'ai cherché de fond en comble sur internet un corrigé du théorème en question uniquement (et pas tout le sujet), impossible de trouver une correction avec la démarche de l'énoncé de Centrale. La seule idée qui revient est celle que vous m'avez donné.
(d'ailleurs les recherches sur internet sur ce théorème sont un peu dures parce que le théorème de Burnside concerne un théorème d'algèbre général dont je n'avais jamais entendu parler et qui est, je trouve, beau et accessible à un taupin)

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Re: Théorème de Burnside (Sous-algèbre irréductible)

Message par Tristan33 » 22 avr. 2020 12:36

ah pardon je viens de voir votre edit, merci (je trouve ça drôle haha)

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Re: Théorème de Burnside (Sous-algèbre irréductible)

Message par JeanN » 22 avr. 2020 18:38

Pour ceux qui sont intéressés, voici quelques questions intermédiaires (sans rentrer dans des considérations d'espace dual).
On va adopter un point de vue matriciel et on considère $A$ une sous-algèbre irréductible de $M_n(C)$.
On pourra utiliser que $A$ contient une matrice de rang 1et que pour tout $x\in C^n$ non nul, $Ax=C^n$.
On note $A^T$ l'ensemble des transposées des éléments de $A$ et on va montrer dans les questions 1),2) et 3) que $A^T$ est aussi une sous-algèbre irréductible de $M_n(C)$

1) Vérifier que $A^T$ est une sous-algèbre de $M_n(C)$.

Dans la suite, on considère $F$ un sev de $C^n$ stable par tous les éléments de $A^T$.
On raisonne par l'absurde et on suppose que $1\leq dim(F)<n$. On considère $(X_1,...,X_p)$ une base de $F$ que l'on complète pour former $(X_1,...,X_n)$ une base de $C^n$.

2) Montrer qu'il existe $Y\in C^n$ non nul tel que $\forall X\in F, Y^T X=0$.

3) Montrer que $\forall Z\in C^n, Z^T X_1=0$ et en déduire une absurdité.

4) Déduire de ce qui précède que A contient toutes les matrices de rang 1 puis que $A=M_n(C)$.
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Re: Théorème de Burnside (Sous-algèbre irréductible)

Message par Tristan33 » 22 avr. 2020 19:23

Bonsoir, vous régalez !
juste une petite coquille j'ai l'impression qui s'est glissée dans "pour tout $x\in C^n$ non nul, $Ax=C^n$"
J'en profite pour vous demander votre avis autant que professeur et donc correcteur de copies : que pensez-vous d'un élève qui, préférant manipuler les matrices aux endomorphismes, déclare au début d'une partie, une phrase dans votre style "On va adopter un point de vue matriciel, on pourra ensuite tout retraduire en termes d'endomorphismes grâce à l'homéomorphisme (pour conserver les propriétés topologiques, sinon je parlerai juste d'isomorphisme) qui a un endomorphisme assoie sa matrice dans une base fixée au préalable" ?
J'ai hésité plusieurs fois à faire ça mais je crains que le correcteur pense que je dis que son sujet est mal fait alors que c'est juste une question de goût à mon sens...

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Re: Théorème de Burnside (Sous-algèbre irréductible)

Message par JeanN » 22 avr. 2020 20:57

Quelle est précisément la coquille ? Il me semble avoir écrit une égalité ensembliste correcte.

Sinon pour la question posée, autant à l’oral, un éventuel changement de point de vue sera plutôt bien reçu, autant à l’écrit je conseille la prudence et l’adaptation au sujet.

Si tu as un exemple en tête, pose la question directement à ton professeur.
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Re: Théorème de Burnside (Sous-algèbre irréductible)

Message par Tristan33 » 22 avr. 2020 21:19

ok merci
non en fait y'a pas de coquille j'ai cru lire pour "tout A dans la sous-algèbre", je m'en excuse

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Re: Théorème de Burnside (Sous-algèbre irréductible)

Message par viemax » 07 déc. 2021 15:06

Bonjour à tous,
Je m'en viens déterrer ce sujet. Une correction a été mise en ligne sur le site https://concours-maths-cpge.fr/

En particulier pour la question 40, voir la correction ici : https://drive.google.com/file/d/16rvkoe ... sp=sharing

Il est indiqué fij (Ek) = 0 pour tout k différent de j.
Il me semble que cela est faux car on ne connait pas la composante sur E1 de wj(Ek).

Qu'en dites-vous ?

D'avance merci pour vos retours!

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