Exos sympas MP(*)

[Contrexemple]

Résolu dans aops : https://artofproblemsolving.com/communi ... 23569_q2p1

[Contrexemple]

Soit $p>5$, $H$sous groupe de $(\mathbb Z/p\mathbb Z) ^*$, avec $a\in H$ et $a>2$.

A-t-on $(a-1)| p\sum\limits_{h \in H} (-h/p \mod a) $?

[Contrexemple]

Bonjour

A-t-on : $\forall q$ premier impair, $\exists p$ premier avec $q|2^p-1$?

Bonne journée.

[Inversion]

Bonjour,
q=5 ne vérifie pas cela.
Bonne journée.

[Contrexemple]

Salut

Bravo.

Super Weierstrass :
A-t-on $Vect\{ 1,x,x^{2},...,x^{2^n},...\} $ est dense dans $C([0,1])$ munit de la norme uniforme ?

PS : La réponse que j'ai, n'est pas juste.

Bonne journée.

[autobox]

SPOILER:

$\mathcal{A} = Vect\{1, x^2, x^4, x^8, \cdots\}$ est

- une sous-algèbre de $C([0,1])$ qui sépare les points (via la fonction carré par exemple, qui est injective sur $[0,1]$)
- telle que pour tout $x\in [0,1]$, il existe $f\in \mathcal{A}$ telle que $f(x)\neq 0$ ($\mathcal{A}$ contient les constantes non nulles)

D'après le théorème de Stone-Weierstrass, $\mathcal{A}$ est dense dans $C([0,1])$.
Comme elle est incluse dans ton espace vectoriel, il est lui aussi dense dans $C([0,1])$

Mais je ne suis pas sûr que cette version du théorème de Stone-Weierstrass soit au programme

[Contrexemple]

Ce n'est pas une algèbre : $ x^2\times x^4=x^6 $, 6 n'est pas une puissance de 2.

[Contrexemple]

Salut,



Soit $E$ sous $\mathbb R$ ev de fonctions continues, contenant les constantes, et dense dans $C([0,1])$ pour la norme $||f||_1=\int_0^1 |f(t)|dt$.

1) A-t-on $E$ dense dans $C([0,1])$ pour la norme uniforme?

Bonne recherche.

[Contrexemple]

2) Qu'en est-il si on suppose aussi que $E\subset C^1([0,1])$ et $E=\{f' : f\in E\}$?

[Inversion]

1) Non (sev des fonctions continues de [0,1] dans R telles que f(0)=f(1))