Racine nombre complexe

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Racine nombre complexe

Message par Icelandermm » 14 janv. 2022 07:32

Bonjour,

Je suis en TS et m'exerce à approfondir les nombres complexes.

Un exercice demande de donner les racines carrées de 3+5i.

En notant z=a+ib avec a et b réels, en résolvant z²=3+5i, je trouve a²-b²=3 et 2ab=5. Puis avec |z²|=|3+5i| je trouve a²+b²=6. En combinant tout ça et en utilisant le signe de ab, je trouve que les racines sont : z=(1/sqrt(2))*(3+i*sqrt(3)) et z'=-z Sauf qu'en vérifiant je trouve pas z²=3+5i. J'ai refais plusieurs fois le calcul je ne trouve pas l'erreur.

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Re: Racine nombre complexe

Message par Hibiscus » 14 janv. 2022 10:12

Pas sûr de comprendre le 6
En prenant tes notations,
$ \displaystyle a^2-b^2 = 3 ~~;~~2ab=5 $
Oui, c'est bien la définition.

Maintenant,
$ \displaystyle |z^2| = a^2+b^2 = \sqrt{3^2+5^2} $
Je ne vois pas trop pourquoi ça ferait 6, je vois plutôt un $ \sqrt{34} $.

Est-ce le bon énoncé ?
(au hasard, c'est pas plutôt les racines de 3+4i, pour qu'on ait une racine qui tombe pile sur 5 ?)
SPOILER:
Bon, cela dit, ça se fait aussi tout seul analytiquement. En suivant la méthode que tu proposes pour un complexe $ x+iy $ quelconque (ici $ 3+5i $ ), on a rapidement :
$ \displaystyle
\sqrt{x+iy} = \pm \left(\sqrt{\frac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2} +x} - i \sqrt{\frac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2} +x} \right) $
En remplaçant x et y par 3 et 5, tu aurais ton résultat. (qui trimballe des $ \sqrt{34} $ donc c'est chiant à écrire..)
Mais c'est probablement un peu tôt côté programme.

3 et 5 ne donnent pas une racine ronde, c'est pour ça que ça m'étonne. Généralement, on choisit des nombres qui marchent bien, genre 7-24i, pour tomber sur 4-3i ou des choses comme ça..
Lycée Masséna (Pcsi-PC*) -- École polytechnique (X15) -- PhD Student (Japon, Astrophysique) -- Ingé (spatial)

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