exponentielle complexe (exp(a))^b != exp (ab)

[dylann]

exp(a^b) != exp(ab) , avec ici a unn complexe et b non entier s il est entier il semblerait que l egalite soit juste... exemple : (ei2pi)^1/4 = 1 et ei2pi*1/4=eipi/2= i

bonsoir je n arrive pas bien a comprendre pourquoi cette inegalite est vraie si vous avez une idée ou une demo a me proposer je suis preneur merci.
merci d avance bonne soiree

[Hibiscus]

exp(a^b) != exp(ab) , [si b] est entier il semblerait que l egalite soit juste...

?
Pas compris
$ \exp{((1+i)^3)} $ ça fait pas $ \exp{(3+3i)} $..

Ca marche tellement presque jamais que c'en est miraculeux que tu aies trouvé des cas où ça marche et que tu aies pu te convaincre que l'égalité puisse être juste..

[dylann]

en effet je me suis mal exprime c plutot (exp(a))^b = exp (ab) si b est un entier mais si b ne l ai pas ca ne fonctionne plus... et je cherche pourquoi
merci

[Inversion]

Comment définis-tu exp(a)^b si a est complexe et b non entier ?

[dylann]

je le defini de la meme facon que dand R mais je suppose que mon erreur provient de la car il doit y avoir une probleme de bijectivite avec l exp complexe, et je suppose que la demonstration de de( (exp(a))^)b = exp (a*b) se justifie avec le passage au logarithme... mais je suis toujour preneur d une explication plus claire et sans doute plus juste que la mienne et si vous avez une demo sous la main qui justifierai cela je ne dis pas non. merci

[Hibiscus]

Pour $ z=x+iy, (x,y)\in\mathbb{R}^2 $, que signifie $ \exp{z} $ ?

La démonstration de $ \forall (z_1,z_2)\in\mathbb{C}^2~\exp{(z_1+z_2)}=\exp{(z_1)}\exp{(z_2)} $ est dans ton cours. (et tiens en 3 lignes)
La définition de la notation (ou proposition, whatever) $ e^{it}=\cos(t)+i\sin(t) $ est également dans ton cours.

SPOILER:

Tu devrais savoir que ça s'écrit $ \exp{z}=\exp{x}\exp{iy} = e^x( \cos{(y)}+i\sin{(y)}) $.

[dylann]

desole mais je n arrive pas a voir ou vous voulez en venir si on passe au carre l egalité reste toujours vrai puisque 2 est un entier ?

[Hibiscus]

Ecris-le doucement.

[dylann]

(exp(z))^2 = exp (2z) on est bien d accord la dessus ?

[Hibiscus]

Tu as l'expression de $ e^z $, et tu dois connaître la formule de Moivre.
Tu as donc (ou tout ce qu'il faut pour écrire) la preuve que ce que tu proposes $ (\exp z)^n = \exp(nz) $ pour n entier.

Tu sais probalement que la formule de Moivre ne s'applique pas aux puissances non-entières, puisque ça donne un résultat multivalué. (ou on a dû te dire que ça marchait pas)

Il est facile de t'en convaincre, en prenant $ n= 1/2 $ comme puissance :
Si tu considères $ z =0 $, tu obtiens $ 1^{1/2} = 1 $
et si tu considères $ z=2\pi $, tu vois que $ 1^{1/2} = - 1 $
Et donc, la question, c'est : $ 1^{1/2} $ ça vaut lequel des deux ?

C'est ça le problème "multivalué", et c'est à cause de ça que certaines identités avec des puissances et des logarithmes seront un peu cabossées avec des nombres complexes.

SPOILER:

(c.f. Clausen 1827)

Pour tout entier n , on a bien
$ {\displaystyle e^{1+2\pi in}=e^{1}e^{2\pi in}=e\cdot 1=e} \\
{\displaystyle \left(e^{1+2\pi in}\right)^{1+2\pi in}=e\qquad } \\
{\displaystyle e^{1+4\pi in-4\pi ^{2}n^{2}}=e\qquad }\\
{\displaystyle e^{1}e^{4\pi in}e^{-4\pi ^{2}n^{2}}=e\qquad }\\
{\displaystyle e^{-4\pi ^{2}n^{2}}=1\qquad } $
Et.. On arrive à un problème. (2ème ligne, on prend une puissance des deux côtés, 3ème ligne, on développe l'exposant, 5ème, on divise par e.)

L'erreur porte en gros sur la définition de "fonction", qui devrait empêcher la multi-valuation (f(1) ne peut pas valoir "parfois 3, parfois 0").
Ici, avant de développer l'exposant, la deuxième ligne doit être
$ {\displaystyle \exp \left((1+2\pi in)\log \exp(1+2\pi in)\right)=\exp(1+2\pi in).} $ en développant l'exposant, on a implicitement supposé que tout marchait bien, ce qui est faux, car le logarithme complexe est multivalué. En d'autres termes, la mauvaise identité $ ( e^x )^y = e^{(xy)} $ doit être remplacée par l'identité $ {\displaystyle \log \exp z=z} $ , ou si tu veux, $ {\displaystyle \left(e^{x}\right)^{y}=e^{y\log e^{x}},} $ qui est une identité "un peu mieux".