Majoration avec une famille de suites

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Majoration avec une famille de suites

Message par Jeandxb » 18 avr. 2022 11:29

Bonjour,

Pour tout réel $ x\ge 0 $ et tout entier $ n\ge 0 $, on définit $ f_n(x)=e^{-2x}-e^{-x}p_n(x) $ avec $ p_n(x)=\sum_{k=0}^n \frac{(-x)^k}{k!} $.

Dans la première question, on demande de calculer $ f_n' $ en fonction de $ f_n $.

Voilà ce que j'ai.
Soit $ n\ge 0 $ et $ x\ge 0 $, on a :
$ f_n^{'}(x)=-2e^{-2x}+e^{-x}p_n(x)-e^{-x}p_n^{'}(x) $.
Or, $ p_n^{'}(x)=\sum_{k=1}^n \frac{-k(-x)^{k-1}}{k!}=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{-(-x)^k}{k!}=-p_{n-1}(x) $.
Finalement :

$ f_n^{'}(x)=-2e^{-2x}+e^{-x}p_n(x)+e^{-x}p_{n-1}(x)=-f_n(x)-f_{n-1}(x) $.

Pour la deuxième question, on suppose qu'il existe $ x_0 $ tel que $ f'(x_0)=0 $ et on demande d'exprimer alors $ f_n(x_0) $ en fonction de $ x_0 $.

Si $ f'_n(x_0)=0 $, alors $ -f_n(x_0)-f_{n-1}(x_0)=0 $, autrement dit $ f_n(x_0)=-f_{n-1}(x_0)=-e^{-2x_0}+e^{-x_0}\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-x_0)^k}{k!} $.

Pour la troisième question, on demande de calculer $ \sup_{x\ge 0}e^{-x}x^n $.

J'obtiens que $ \sup_{x\ge 0}e^{-x}x^n=\big(\frac{n}{e}\big)^n $ à l'aide d'une étude de fonction.

Pour la quatrième question, on demande d'en déduire que $ \sup_{x\ge 0}|f_n|\le \frac{1}{2n!}\big(\frac{n}{e}\big)^n $.

Pour cette question, j'ai essayé plusieurs majorations par l'inégalité triangulaire de $ f_n(x) $ mais sans succès.

J'aimerais donc, avant d'aller plus loin, vérifier avec vous si mes résultats aux trois premières questions sont justes.

Merci à vous !

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