bijectivité du changement de coordonnées polaires

[Jeandxb]

Bonjour,

Je souhaite montrer que l'application $ \varphi : (r,t)\to (rcos(t),rsin(t)) $ est un $ C^1 $-difféomorphisme de $ U=]0,+\infty[\times ]-\pi,\pi[ $ dans $ U'=R^2\backslash (]-\infty,0]\times {0}) $.

Pour le caractère $ C^1 $, ça va, pas de problème.
J'ai dans l'idée de montrer que $ \varphi $ est bijective, ce qui suffira car son jacobien vaut $ r\neq 0 $.

Pour la surjectivité, il s'agit de montrer que pour tout élément $ (x,y)\in U' $, l'équation $ \varphi(r,t)=(x,y) $ admet au moins une solution.

Or, $ \varphi(r,t)=(x,y)\iff (rcos(t),rsin(t))=(x,y) $. On obtient ainsi que $ r=\sqrt{x^2+y^2} $ et que $ t=arctan(\frac{y}{x}) $ (on a bien $ x\neq 0 $).

Donc $ \varphi $ est surjective. Qu'en pensez-vous ?

Pour l'injectivité, je n'avance pas.
Je prends donc deux éléments $ (r_1,t_1) $ et $ (r_2,t_2) $ de $ U $, et j'écris que $ \varphi(r_1,t_1)=\varphi(r_2,t_2) $ pour obtenir que $ r_1cos(t_1)=r_2cos(t_2) $ et que $ r_1sin(t_1)=r_2sin(t_2) $.

Mais comment en déduire alors que $ r_1=r_2 $ et $ t_1=t_2 $ ?

[Tamador195]

Déjà en élevant au carré puis en sommant tes égalités tu as r1=r2

puis ce sont des simples équations trigonométriques qui ne te laissent pas trop le choix

[fakbill]

Oui et surtout ça ne vient pas de nulle part.
C'est très visuel/géométrique.
Un point être déterminer en polaire par une distance et un angle....donc le cos² + sin² ne sort pas du chapeau...c'est juste pythagore de base.