Bonjour,
Je souhaite montrer que l'application $ \varphi : (r,t)\to (rcos(t),rsin(t)) $ est un $ C^1 $-difféomorphisme de $ U=]0,+\infty[\times ]-\pi,\pi[ $ dans $ U'=R^2\backslash (]-\infty,0]\times {0}) $.
Pour le caractère $ C^1 $, ça va, pas de problème.
J'ai dans l'idée de montrer que $ \varphi $ est bijective, ce qui suffira car son jacobien vaut $ r\neq 0 $.
Pour la surjectivité, il s'agit de montrer que pour tout élément $ (x,y)\in U' $, l'équation $ \varphi(r,t)=(x,y) $ admet au moins une solution.
Or, $ \varphi(r,t)=(x,y)\iff (rcos(t),rsin(t))=(x,y) $. On obtient ainsi que $ r=\sqrt{x^2+y^2} $ et que $ t=arctan(\frac{y}{x}) $ (on a bien $ x\neq 0 $).
Donc $ \varphi $ est surjective. Qu'en pensez-vous ?
Pour l'injectivité, je n'avance pas.
Je prends donc deux éléments $ (r_1,t_1) $ et $ (r_2,t_2) $ de $ U $, et j'écris que $ \varphi(r_1,t_1)=\varphi(r_2,t_2) $ pour obtenir que $ r_1cos(t_1)=r_2cos(t_2) $ et que $ r_1sin(t_1)=r_2sin(t_2) $.
Mais comment en déduire alors que $ r_1=r_2 $ et $ t_1=t_2 $ ?
bijectivité du changement de coordonnées polaires
Re: bijectivité du changement de coordonnées polaires
Déjà en élevant au carré puis en sommant tes égalités tu as r1=r2
puis ce sont des simples équations trigonométriques qui ne te laissent pas trop le choix
puis ce sont des simples équations trigonométriques qui ne te laissent pas trop le choix
2019/2021: MPSI/MP*
2021-... : CentraleSupélec
2021-... : CentraleSupélec
Re: bijectivité du changement de coordonnées polaires
Oui et surtout ça ne vient pas de nulle part.
C'est très visuel/géométrique.
Un point être déterminer en polaire par une distance et un angle....donc le cos² + sin² ne sort pas du chapeau...c'est juste pythagore de base.
C'est très visuel/géométrique.
Un point être déterminer en polaire par une distance et un angle....donc le cos² + sin² ne sort pas du chapeau...c'est juste pythagore de base.
Pas prof.
Prépa, école, M2, thèse (optique/images) ->ingé dans le privé.
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