Exos sympas MP(*)
Re: Exos sympas MP(*)
Salut
Quelle est la nature de $$\sum\limits_{n\geq 1}\dfrac {\cos(\sqrt n)} {\sqrt n} $$?
Quelle est la nature de $$\sum\limits_{n\geq 1}\dfrac {\cos(\sqrt n)} {\sqrt n} $$?
Re: Exos sympas MP(*)
Le déterminant fonctionnel ?
Existe-t-il $H \subset C(\mathbb R) $ sev, et $L$ forme linéaire non triviale sur $H$, tel que : $L(f\circ g)=L(f)\times L(g)$ et $\dim(H)=\infty$ ?
Existe-t-il $H \subset C(\mathbb R) $ sev, et $L$ forme linéaire non triviale sur $H$, tel que : $L(f\circ g)=L(f)\times L(g)$ et $\dim(H)=\infty$ ?
Re: Exos sympas MP(*)
Cet exo date mais j'ai pris du plaisir à le résoudreContrexemple a écrit : ↑10 févr. 2022 13:30Un peu de proba.$ $
$ T_n $ v.a. correspondant au nombre maximum de 1 consécutifs dans un tirage equiprobable de n, 0 et 1.
Par exemple si on tire 01110 pour n=5 alors pour ce tirage on a $ T_5$ qui a pour valeur 3.
Calculer la valeur exacte de $2^{100} \times E (T_{100}) $.
Edit : j'ai été trop gourmand, au lieu de mille je mets 100.
Code : Tout sélectionner
def g(L,n,m):
if(n<0):
n=0
if n<m:
return L[n][n]
else:
return L[n][m]
def f(n):
A=[[1],[1,2],[1,3,4],[1,5,7,8],[1,8,13,15,16]]
while(n>=len(A)):
L=[1]
u=0 #u = nombre de 1 consécuifs maximal de la chaîne
p=0 #p = position du premier 1 de la chaîne de 1 la plus longue
v=1
for u in range(1,len(A)+1,1):
for p in range(0,len(A)-u+1):
if(p<=1):
v = v + g(A,len(A)-(p+u+1),u)
elif(p+u>=len(A)-1):
v = v + g(A,p-1,u-1)
else:
v = v + g(A,p-1,u-1)*g(A,len(A)-(p+u+1),u)
L.append(v)
A.append(L)
return(A)
def reponse(n):
A=f(n)
i=0
c=0
for i in range(n):
c=c+(i+1)*(A[n][i+1]-A[n][i])
return(c)
reponse(100)
Pour 1000, en 75s
Re: Exos sympas MP(*)
Déterminer un moyen de calculer, en moins de 5 minutes, pour $A \subset [0,100]\cap \mathbb N$ : $\text{card}(\bigcup \limits_{n \in A} G_n)$
avec $G_n$ le sous groupe d'ordre $2^n\times 3^{100-n}$ de $\mathbb Z/6^{100}\mathbb Z$
avec $G_n$ le sous groupe d'ordre $2^n\times 3^{100-n}$ de $\mathbb Z/6^{100}\mathbb Z$
Re: Exos sympas MP(*)
Ce problème m'a énervé, avant de me rendre compte que je le prenais pas du bon côtéContrexemple a écrit : ↑29 avr. 2022 17:10Le déterminant fonctionnel ?
Existe-t-il $H \subset C(\mathbb R) $ sev, et $L$ forme linéaire non triviale sur $H$, tel que : $L(f\circ g)=L(f)\times L(g)$ et $\dim(H)=\infty$ ?
SPOILER:
Dernière modification par Yeph le 04 mai 2022 02:10, modifié 1 fois.
Re: Exos sympas MP(*)
Pour continuer, je propose un exercice tout à fait classique mais toujours bon à refaire. Soit $a < b$ des réels et $\omega : [a;b] \rightarrow \mathbb{R}^{+*}$ continue. On définit $E$ l'ensemble des fonctions continues sur $[a,b]$, et $(\cdot|\cdot)$ la forme suivante :
\[ \forall (f,g)\in E^2, (f|g) = \int_a^b f(x)g(x)w(x)\mathrm{d}x \]
1. Montrer que $(\cdot|\cdot)$ est un produit scalaire.
2. Montrer qu'il existe une unique base orthonormale de $\mathbb{R}[X]$ faite de polynômes unitaires à degrés étagés.
On note cette base $(P_n)$.
3. [La vraie question] Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $P_n$ admet $n$ racines simples dans $]a,b[$ et que les racines de $P_{n+1}$ sont entrelacées dans celles de $P_n$.
\[ \forall (f,g)\in E^2, (f|g) = \int_a^b f(x)g(x)w(x)\mathrm{d}x \]
1. Montrer que $(\cdot|\cdot)$ est un produit scalaire.
2. Montrer qu'il existe une unique base orthonormale de $\mathbb{R}[X]$ faite de polynômes unitaires à degrés étagés.
On note cette base $(P_n)$.
3. [La vraie question] Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $P_n$ admet $n$ racines simples dans $]a,b[$ et que les racines de $P_{n+1}$ sont entrelacées dans celles de $P_n$.
Dernière modification par Yeph le 04 mai 2022 02:34, modifié 1 fois.
Re: Exos sympas MP(*)
Salut,
$ $
un peu de théorie des groupes :
$G$ un groupe fini simple tel que $A\subset G$, $B\subset G$ avec $<A>\neq G$, $<B> \neq G$ et $<A \cup B>=G$. A-t-on $<A> \cap <B>=\{e\}$ ?
PS : $e$ l'élement neutre de $G$.
Motivation : si c'est vrai quand : $G$ groupe fini simple non commutatif, avec $G=<a_1,...,a_n>$ et $\forall i=1...n,G\neq <a_j; j\neq i \text{ et } j\in \{1,...,n\}>$ alors $n=2$
c'est à dire : dim(G)=2 quand G groupe fini simple non commutatif.
$ $
un peu de théorie des groupes :
$G$ un groupe fini simple tel que $A\subset G$, $B\subset G$ avec $<A>\neq G$, $<B> \neq G$ et $<A \cup B>=G$. A-t-on $<A> \cap <B>=\{e\}$ ?
PS : $e$ l'élement neutre de $G$.
Motivation : si c'est vrai quand : $G$ groupe fini simple non commutatif, avec $G=<a_1,...,a_n>$ et $\forall i=1...n,G\neq <a_j; j\neq i \text{ et } j\in \{1,...,n\}>$ alors $n=2$
c'est à dire : dim(G)=2 quand G groupe fini simple non commutatif.
Re: Exos sympas MP(*)
1) évident ( juste argument continuité pour justifier que P est nul dans la partie définie positive)Yeph a écrit : ↑04 mai 2022 02:33Pour continuer, je propose un exercice tout à fait classique mais toujours bon à refaire. Soit $a < b$ des réels et $\omega : [a;b] \rightarrow \mathbb{R}^{+*}$ continue. On définit $E$ l'ensemble des fonctions continues sur $[a,b]$, et $(\cdot|\cdot)$ la forme suivante :
\[ \forall (f,g)\in E^2, (f|g) = \int_a^b f(x)g(x)w(x)\mathrm{d}x \]
1. Montrer que $(\cdot|\cdot)$ est un produit scalaire.
2. Montrer qu'il existe une unique base orthonormale de $\mathbb{R}[X]$ faite de polynômes unitaires à degrés étagés.
On note cette base $(P_n)$.
3. [La vraie question] Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $P_n$ admet $n$ racines simples dans $]a,b[$ et que les racines de $P_{n+1}$ sont entrelacées dans celles de $P_n$.
2) il nous suffit de montrer qu’il existe une famille (Pn) de polynôme telle que pour
tout n appartenant a N, (P0, ..., Pn) est une famille orthonormale à degrés échelonnés ; nous construisons une telle famille par récurrence
Re: Exos sympas MP(*)
$ \int_{0}^{-\infty} \frac{dt}{(1+t^\varphi)^\varphi} =1 $
avec phi le ""nombre d'or"".
Je ne sais pas à quel point c'est pénible à prouver mais je trouve ça joli.
avec phi le ""nombre d'or"".
Je ne sais pas à quel point c'est pénible à prouver mais je trouve ça joli.
Pas prof.
Prépa, école, M2, thèse (optique/images) ->ingé dans le privé.
Prépa, école, M2, thèse (optique/images) ->ingé dans le privé.