Un problème, une question, un nouveau théorème ?
Messages : 2
Enregistré le : 04 mai 2022 01:58
Message
par Yeph » 04 mai 2022 02:04
Contrexemple a écrit : ↑29 avr. 2022 17:10
Le déterminant fonctionnel ?
Existe-t-il $H \subset C(\mathbb R) $ sev, et $L$ forme linéaire non triviale sur $H$, tel que : $L(f\circ g)=L(f)\times L(g)$ et $\dim(H)=\infty$ ?
Ce problème m'a énervé, avant de me rendre compte que je le prenais pas du bon côté
Modifié en dernier par
Yeph le 04 mai 2022 02:10, modifié 1 fois.
Messages : 2
Enregistré le : 04 mai 2022 01:58
Message
par Yeph » 04 mai 2022 02:33
Pour continuer, je propose un exercice tout à fait classique mais toujours bon à refaire. Soit $a < b$ des réels et $\omega : [a;b] \rightarrow \mathbb{R}^{+*}$ continue. On définit $E$ l'ensemble des fonctions continues sur $[a,b]$, et $(\cdot|\cdot)$ la forme suivante :
\[ \forall (f,g)\in E^2, (f|g) = \int_a^b f(x)g(x)w(x)\mathrm{d}x \]
1. Montrer que $(\cdot|\cdot)$ est un produit scalaire.
2. Montrer qu'il existe une unique base orthonormale de $\mathbb{R}[X]$ faite de polynômes unitaires à degrés étagés.
On note cette base $(P_n)$.
3. [La vraie question] Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $P_n$ admet $n$ racines simples dans $]a,b[$ et que les racines de $P_{n+1}$ sont entrelacées dans celles de $P_n$.
Modifié en dernier par
Yeph le 04 mai 2022 02:34, modifié 1 fois.
Messages : 106
Enregistré le : 11 mars 2021 18:24
Message
par Contrexemple » 13 juin 2022 09:49
Salut,
$ $
un peu de théorie des groupes :
$G$ un groupe fini simple tel que $A\subset G$, $B\subset G$ avec $<A>\neq G$, $<B> \neq G$ et $<A \cup B>=G$. A-t-on $<A> \cap <B>=\{e\}$ ?
PS : $e$ l'élement neutre de $G$.
Motivation : si c'est vrai quand : $G$ groupe fini simple non commutatif, avec $G=<a_1,...,a_n>$ et $\forall i=1...n,G\neq <a_j; j\neq i \text{ et } j\in \{1,...,n\}>$ alors $n=2$
c'est à dire : dim(G)=2 quand G groupe fini simple non commutatif.
Tout problème simple à comprendre, admet une solution simple et parfois tellement astucieuse qu'elle est dure à trouver.
Messages : 64
Enregistré le : 30 mars 2020 13:23
Classe : MPI*
Message
par yarama098 » 29 juin 2022 18:22
Yeph a écrit : ↑04 mai 2022 02:33
Pour continuer, je propose un exercice tout à fait classique mais toujours bon à refaire. Soit $a < b$ des réels et $\omega : [a;b] \rightarrow \mathbb{R}^{+*}$ continue. On définit $E$ l'ensemble des fonctions continues sur $[a,b]$, et $(\cdot|\cdot)$ la forme suivante :
\[ \forall (f,g)\in E^2, (f|g) = \int_a^b f(x)g(x)w(x)\mathrm{d}x \]
1. Montrer que $(\cdot|\cdot)$ est un produit scalaire.
2. Montrer qu'il existe une unique base orthonormale de $\mathbb{R}[X]$ faite de polynômes unitaires à degrés étagés.
On note cette base $(P_n)$.
3. [La vraie question] Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $P_n$ admet $n$ racines simples dans $]a,b[$ et que les racines de $P_{n+1}$ sont entrelacées dans celles de $P_n$.
1) évident ( juste argument continuité pour justifier que P est nul dans la partie définie positive)
2) il nous suffit de montrer qu’il existe une famille (Pn) de polynôme telle que pour
tout n appartenant a N, (P0, ..., Pn) est une famille orthonormale à degrés échelonnés ; nous construisons une telle famille par récurrence
MPI*
Messages : 9675
Enregistré le : 30 juil. 2008 16:59
Classe : Dr.-Ing
Message
par fakbill » 07 juil. 2022 11:09
$ \int_{0}^{-\infty} \frac{dt}{(1+t^\varphi)^\varphi} =1 $
avec phi le ""nombre d'or"".
Je ne sais pas à quel point c'est pénible à prouver mais je trouve ça joli.
Pas prof.
Prépa, école, M2, thèse (optique/images) ->ingé dans le privé.
Messages : 4
Enregistré le : 30 avr. 2017 01:48
Message
par oty20 » 11 juil. 2022 18:19
Publié sur twitter, par Mr Mansuy
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .
Messages : 9675
Enregistré le : 30 juil. 2008 16:59
Classe : Dr.-Ing
Message
par fakbill » 12 juil. 2022 14:03
Certes mais ça n'en donne pas la solution.
Pas prof.
Prépa, école, M2, thèse (optique/images) ->ingé dans le privé.
Messages : 106
Enregistré le : 11 mars 2021 18:24
Message
par Contrexemple » 19 juil. 2022 20:22
Salut,
@Oty : celui là, si tu le trouves autre part sur le net publier avant date de ce post, alors j'en donne la solution aussi.
A-t-on $$\sup\{\int_0^1f(x)g(x)dx-\int_0^1 f(x)dx \times \int_0^1 g(x)dx\text{ : }(f,g)\in A^2\}=\dfrac{1}{12}$$ ?
$A$ l'ensemble des fonctions réels 1-lipschitziennes.
Tout problème simple à comprendre, admet une solution simple et parfois tellement astucieuse qu'elle est dure à trouver.
Messages : 106
Enregistré le : 11 mars 2021 18:24
Message
par Contrexemple » 07 août 2022 22:48
Soit $L$ forme linéaire continue, non nulle, de $C([0,1])$ munit de la norme uniforme et tel que :
$$\forall f,g \in C([0,1]), L(f \times g)=L(f) \times L(g) $$.
A-t-on $\exists x_0 \in [0,1], \forall f\in C([0,1]), L(f)=f(x_0)$ ?
Tout problème simple à comprendre, admet une solution simple et parfois tellement astucieuse qu'elle est dure à trouver.
Messages : 184
Enregistré le : 03 nov. 2012 00:17
Classe : CE2
Message
par lsjduejd » 18 août 2022 16:17
Soit $P=\sum_{k=0}^{n}{a_k*X^k}$ un polynôme unitaire de $\mathbb{C}[X]$ avec $a_0 \neq 0$ de degré $n>1$. On note $E$ l'ensemble des racines de $P$.
On suppose que $\forall \lambda \in E, \forall k \in \{0;..;n\}, \frac{a_k}{(-\lambda)^{n-k}}\in\mathbb{N}$.
Montrer que $\#E=1$.