Exos sympas MP(*)

[Yeph]

Le déterminant fonctionnel ?

Existe-t-il $H \subset C(\mathbb R) $ sev, et $L$ forme linéaire non triviale sur $H$, tel que : $L(f\circ g)=L(f)\times L(g)$ et $\dim(H)=\infty$ ?

Ce problème m'a énervé, avant de me rendre compte que je le prenais pas du bon côté

SPOILER:

On prend $H = \{ f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})~|~f(0)=0\}$ et $L(f) = f'(0)$. On a alors $L(f\circ g) = g'(0)\times f'\circ g (0) = g'(0)f'(0) = L(f)L(g)$.

Par ailleurs, c'est très drôle, mais dans le cas général, on peut montrer que si on a $H$ sev quelconque stable par composition (ça manquait dans les hypothèses), et $L$ une forme linéaire tel que définie, alors on prend $u$ tel que $L(u) = 1$ (puisque $L$ non-trivial), et on a alors $u(\mathbb{R})$ qui est un intervalle $I$, et pour $y \in I$, on a $u(y) = y$. Ce qui donne un joli exo de khôlle je trouve !

Et maintenant je me pose la question de savoir si c'est possible de trouver une $L$ continue.

[Yeph]

Pour continuer, je propose un exercice tout à fait classique mais toujours bon à refaire. Soit $a < b$ des réels et $\omega : [a;b] \rightarrow \mathbb{R}^{+*}$ continue. On définit $E$ l'ensemble des fonctions continues sur $[a,b]$, et $(\cdot|\cdot)$ la forme suivante :

\[ \forall (f,g)\in E^2, (f|g) = \int_a^b f(x)g(x)w(x)\mathrm{d}x \]

1. Montrer que $(\cdot|\cdot)$ est un produit scalaire.
2. Montrer qu'il existe une unique base orthonormale de $\mathbb{R}[X]$ faite de polynômes unitaires à degrés étagés.

On note cette base $(P_n)$.

3. [La vraie question] Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $P_n$ admet $n$ racines simples dans $]a,b[$ et que les racines de $P_{n+1}$ sont entrelacées dans celles de $P_n$.

[Contrexemple]

Salut,
$ $
un peu de théorie des groupes :

$G$ un groupe fini simple tel que $A\subset G$, $B\subset G$ avec $<A>\neq G$, $<B> \neq G$ et $<A \cup B>=G$. A-t-on $<A> \cap <B>=\{e\}$ ?

PS : $e$ l'élement neutre de $G$.


Motivation : si c'est vrai quand : $G$ groupe fini simple non commutatif, avec $G=<a_1,...,a_n>$ et $\forall i=1...n,G\neq <a_j; j\neq i \text{ et } j\in \{1,...,n\}>$ alors $n=2$

c'est à dire : dim(G)=2 quand G groupe fini simple non commutatif.

[yarama098]

Pour continuer, je propose un exercice tout à fait classique mais toujours bon à refaire. Soit $a < b$ des réels et $\omega : [a;b] \rightarrow \mathbb{R}^{+*}$ continue. On définit $E$ l'ensemble des fonctions continues sur $[a,b]$, et $(\cdot|\cdot)$ la forme suivante :

\[ \forall (f,g)\in E^2, (f|g) = \int_a^b f(x)g(x)w(x)\mathrm{d}x \]

1. Montrer que $(\cdot|\cdot)$ est un produit scalaire.
2. Montrer qu'il existe une unique base orthonormale de $\mathbb{R}[X]$ faite de polynômes unitaires à degrés étagés.

On note cette base $(P_n)$.

3. [La vraie question] Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $P_n$ admet $n$ racines simples dans $]a,b[$ et que les racines de $P_{n+1}$ sont entrelacées dans celles de $P_n$.

1) évident ( juste argument continuité pour justifier que P est nul dans la partie définie positive)

2) il nous suffit de montrer qu’il existe une famille (Pn) de polynôme telle que pour
tout n appartenant a N, (P0, ..., Pn) est une famille orthonormale à degrés échelonnés ; nous construisons une telle famille par récurrence

[fakbill]

$ \int_{0}^{-\infty} \frac{dt}{(1+t^\varphi)^\varphi} =1 $
avec phi le ""nombre d'or"".

Je ne sais pas à quel point c'est pénible à prouver mais je trouve ça joli.

[oty20]

Publié sur twitter, par Mr Mansuy

[fakbill]

Certes mais ça n'en donne pas la solution.

[Contrexemple]

Salut,

@Oty : celui là, si tu le trouves autre part sur le net publier avant date de ce post, alors j'en donne la solution aussi.

A-t-on $$\sup\{\int_0^1f(x)g(x)dx-\int_0^1 f(x)dx \times \int_0^1 g(x)dx\text{ : }(f,g)\in A^2\}=\dfrac{1}{12}$$ ?

$A$ l'ensemble des fonctions réels 1-lipschitziennes.

[Contrexemple]

Soit $L$ forme linéaire continue, non nulle, de $C([0,1])$ munit de la norme uniforme et tel que :
$$\forall f,g \in C([0,1]), L(f \times g)=L(f) \times L(g) $$.

A-t-on $\exists x_0 \in [0,1], \forall f\in C([0,1]), L(f)=f(x_0)$ ?

[lsjduejd]

Soit $P=\sum_{k=0}^{n}{a_k*X^k}$ un polynôme unitaire de $\mathbb{C}[X]$ avec $a_0 \neq 0$ de degré $n>1$. On note $E$ l'ensemble des racines de $P$.

On suppose que $\forall \lambda \in E, \forall k \in \{0;..;n\}, \frac{a_k}{(-\lambda)^{n-k}}\in\mathbb{N}$.
Montrer que $\#E=1$.