Relation espaces vectoriels

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Relation espaces vectoriels

Message par Nathgori » 05 août 2022 17:06

Salut, je sais que ce n'est pas vraiment au programme de MPSI ou MP2I mais j'essaie de justifier un truc pour un exercice d'un vieux cours de prépa qui m'intéresse.

Est-ce que si $ F $ et $ G $ sont deux sous-espaces vectoriels de $ E $ tels que $ F\subset G $, alors les espaces quotients vérifient $ E/G\subset E/F $ ?

ça me paraît intuitif mais j'arrive pas à le montrer.

Je note $ s_F:E\rightarrow E/F $ et $ s_G:E\rightarrow E/G $ les surjections canoniques.

Soit $ a\in E/G $. Il existe $ x\in E $ tel que $ a=s_G(x) $. Comment trouver un $ t\in E $ tel que $ a=s_F(t) $ ?

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Re: Relation espaces vectoriels

Message par Contrexemple » 06 août 2022 19:48

Salut,

Les 2 ensembles quotients ne sont pas inclus l'un dans l'autre, par contre tu peux construire une surjection canonique $s$ d'un ensemble dans l'autre, compatible avec les 2 autres surjections canoniques**.

** : $s \circ s_F=s_G$


Cordialement.
Tout problème simple à comprendre, admet une solution simple et parfois tellement astucieuse qu'elle est dure à trouver.

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Re: Relation espaces vectoriels

Message par Nathgori » 07 août 2022 03:56

Ah merci je pouvais donc chercher longtemps lol.
J'ai trouvé le truc qui me bloquait.

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Re: Relation espaces vectoriels

Message par Contrexemple » 07 août 2022 08:28

Je donne $s$, en effet même si la réponse est simple, elle trop astucieuse pour y penser, rapidement.
SPOILER:
Soit $a\in E$, la classe d'équivalence associée est l'ensemble affine $a+F$ pour y associer un ensemble affine parallèle à $G$ il suffit de faire l'opération ensembliste : $(a+F) +G=a+(F+G) =a+G$

Ainsi construit-on la surjection canonique $s$.
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