Exos sympas MP(*)
Re: Exos sympas MP(*)
Publié sur twitter, par Mr Mansuy
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .
Re: Exos sympas MP(*)
Certes mais ça n'en donne pas la solution.
Pas prof.
Prépa, école, M2, thèse (optique/images) ->ingé dans le privé.
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Re: Exos sympas MP(*)
Salut,
@Oty : celui là, si tu le trouves autre part sur le net publier avant date de ce post, alors j'en donne la solution aussi.
A-t-on $$\sup\{\int_0^1f(x)g(x)dx-\int_0^1 f(x)dx \times \int_0^1 g(x)dx\text{ : }(f,g)\in A^2\}=\dfrac{1}{12}$$ ?
$A$ l'ensemble des fonctions réels 1-lipschitziennes.
@Oty : celui là, si tu le trouves autre part sur le net publier avant date de ce post, alors j'en donne la solution aussi.
A-t-on $$\sup\{\int_0^1f(x)g(x)dx-\int_0^1 f(x)dx \times \int_0^1 g(x)dx\text{ : }(f,g)\in A^2\}=\dfrac{1}{12}$$ ?
$A$ l'ensemble des fonctions réels 1-lipschitziennes.
Re: Exos sympas MP(*)
Soit $L$ forme linéaire continue, non nulle, de $C([0,1])$ munit de la norme uniforme et tel que :
$$\forall f,g \in C([0,1]), L(f \times g)=L(f) \times L(g) $$.
A-t-on $\exists x_0 \in [0,1], \forall f\in C([0,1]), L(f)=f(x_0)$ ?
$$\forall f,g \in C([0,1]), L(f \times g)=L(f) \times L(g) $$.
A-t-on $\exists x_0 \in [0,1], \forall f\in C([0,1]), L(f)=f(x_0)$ ?
Re: Exos sympas MP(*)
Soit $P=\sum_{k=0}^{n}{a_k*X^k}$ un polynôme unitaire de $\mathbb{C}[X]$ avec $a_0 \neq 0$ de degré $n>1$. On note $E$ l'ensemble des racines de $P$.
On suppose que $\forall \lambda \in E, \forall k \in \{0;..;n\}, \frac{a_k}{(-\lambda)^{n-k}}\in\mathbb{N}$.
Montrer que $\#E=1$.
On suppose que $\forall \lambda \in E, \forall k \in \{0;..;n\}, \frac{a_k}{(-\lambda)^{n-k}}\in\mathbb{N}$.
Montrer que $\#E=1$.
Re: Exos sympas MP(*)
Contrexemple a écrit : ↑07 août 2022 22:48Soit $L$ forme linéaire continue, non nulle, de $C([0,1])$ munit de la norme uniforme et tel que :
$$\forall f,g \in C([0,1]), L(f \times g)=L(f) \times L(g) $$.
A-t-on $\exists x_0 \in [0,1], \forall f\in C([0,1]), L(f)=f(x_0)$ ?
SPOILER:
Re: Exos sympas MP(*)
Salut,
Un peu d'analyse fonctionnelle :
$ $
On se place dans $E=C_b(\mathbb R)$ l'ensemble des fonctions continues bornées sur les réels.
A-t-on l'existence d'une suite réel $(a_n)$ qui forme une série absolument convergente et $(A_n)$ une suite de réels, tel que $$\forall f\in E,\forall x\in\mathbb R, f(0)=\sum \limits_{n\in \mathbb N} a_n\times f(x+A_n)$$ ?
Un peu d'algébre linéaire :
Soit $n\in\mathbb N^*$.
Existe-t-il $U\subset \mathbb R^n$ avec $\text{card}(U)=2^n$ et $\forall V\subset U,\text{card}(V)=n$ alors $V$ est une base de $\mathbb R^n$ ?
Remarque : les autres énigmes ont trouvé réponse, dans mathoverflow ou aops.
Un peu d'analyse fonctionnelle :
$ $
On se place dans $E=C_b(\mathbb R)$ l'ensemble des fonctions continues bornées sur les réels.
A-t-on l'existence d'une suite réel $(a_n)$ qui forme une série absolument convergente et $(A_n)$ une suite de réels, tel que $$\forall f\in E,\forall x\in\mathbb R, f(0)=\sum \limits_{n\in \mathbb N} a_n\times f(x+A_n)$$ ?
Un peu d'algébre linéaire :
Soit $n\in\mathbb N^*$.
Existe-t-il $U\subset \mathbb R^n$ avec $\text{card}(U)=2^n$ et $\forall V\subset U,\text{card}(V)=n$ alors $V$ est une base de $\mathbb R^n$ ?
Remarque : les autres énigmes ont trouvé réponse, dans mathoverflow ou aops.
Re: Exos sympas MP(*)
Supposons trouvées deux suites a et A telles que blablabla
En prenant f constante égale à un élément inversible de l'anneau d'arrivée ($\mathbb{R}$, je suppose ?), il vient $\sum a_n = 1$. L'égalité se réécrit donc $\sum a_n(f(x+A_n)-f(0)) = 0$
En prenant f dérivable bornée telle que f' soit une densité de probabilité, si U est une variable aléatoire de densité f', on doit pouvoir montrer (interversion intégrale/série, fubini, changement de variable) sans trop de difficultés que $P(U\leqslant -x) = \sum a_nP(U\leqslant A_n)$, pour tout x.
En utilisant la continuité de la fonction de répartition de U (qui est f!) et en faisant tendre x vers $+\infty$ et $-\infty$ on trouve que $0 = \sum a_nP(U\leqslant A_n) = 1$, ce qui est absurde dans un anneau non nul
En prenant f constante égale à un élément inversible de l'anneau d'arrivée ($\mathbb{R}$, je suppose ?), il vient $\sum a_n = 1$. L'égalité se réécrit donc $\sum a_n(f(x+A_n)-f(0)) = 0$
En prenant f dérivable bornée telle que f' soit une densité de probabilité, si U est une variable aléatoire de densité f', on doit pouvoir montrer (interversion intégrale/série, fubini, changement de variable) sans trop de difficultés que $P(U\leqslant -x) = \sum a_nP(U\leqslant A_n)$, pour tout x.
En utilisant la continuité de la fonction de répartition de U (qui est f!) et en faisant tendre x vers $+\infty$ et $-\infty$ on trouve que $0 = \sum a_nP(U\leqslant A_n) = 1$, ce qui est absurde dans un anneau non nul
Re: Exos sympas MP(*)
Salut,
Soit $f : x\rightarrow x^2+1$. Calculer $(f^{2022})^{(100)}(1) \mod 2^{89}-1$.
PS : $f^2=f\circ f$ et $f^{(2)}=f''$
Pas besoin de faire le calcul, il suffit juste de proposer un algo de complexité raisonnable.
La part du lion :
Soient $f_1,...,f_n\in C([0,1],\mathbb R_+^*)$.
A-t-on l'existence de $\sigma$ une permutation de $\{1,..,n\}$ et $0=a_0<a_1<...<a_n=1$ tels que $$\int_{a_{i-1}}^{a_i}f_{\sigma(i)}(x)dx\geq \dfrac{1}{n}\int_0^1 f_{\sigma(i)} (x)dx\text{ pour }i\in \{1,...,n\}$$ ?
Soit $f : x\rightarrow x^2+1$. Calculer $(f^{2022})^{(100)}(1) \mod 2^{89}-1$.
PS : $f^2=f\circ f$ et $f^{(2)}=f''$
Pas besoin de faire le calcul, il suffit juste de proposer un algo de complexité raisonnable.
La part du lion :
Soient $f_1,...,f_n\in C([0,1],\mathbb R_+^*)$.
A-t-on l'existence de $\sigma$ une permutation de $\{1,..,n\}$ et $0=a_0<a_1<...<a_n=1$ tels que $$\int_{a_{i-1}}^{a_i}f_{\sigma(i)}(x)dx\geq \dfrac{1}{n}\int_0^1 f_{\sigma(i)} (x)dx\text{ pour }i\in \{1,...,n\}$$ ?
Re: Exos sympas MP(*)
Soit $f$ une fonction de classe $C^{3}$ telle que $f'''(x)\geq0$ pour tout $x$ et $f(n)\sim f(n+1)$ . Montrer que:
$$\lim_{t\to1^-}\sum_{n=0}^\infty(-1)^nt^{f(n)}=\frac12$$
$$\lim_{t\to1^-}\sum_{n=0}^\infty(-1)^nt^{f(n)}=\frac12$$
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .