Exo d'analyse Help

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Re: Exo d'analyse Help

Message par Contrexemple » 11 sept. 2022 11:05

Contrexemple a écrit :
10 sept. 2022 13:02

Tu fais comme si tu savais que f(t)/t avait une limite en +oo, pourquoi donc ?
zygomatique a écrit :
11 sept. 2022 10:55

je ne fais pas comme si ... j'ai un encadrement que je passe à la limite pour aboutir à k - e < f(t)/t < k + e ... valable pour tout e > 0
Pour quel t ton inégalité est valable ?


Cette démo peut être patché.

$ $En utilisant $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty} \sup\{\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} ; x\geq t\}=\lim\limits_{t\rightarrow +\infty} \sup\{\dfrac{f(x)}{x} ; x\geq t\}$

et $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty} \inf\{\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} ; x\geq t\}=\lim\limits_{t\rightarrow +\infty} \inf\{\dfrac{f(x)}{x} ; x\geq t\}$

qui eux ont bien une limite, par croissance ou décroissance bornée), et on démontre ainsi qu'ils ont même limite $l$ ou k et d'où la convergence de $\dfrac{f(t)}{t}$ vers cette dernière.

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Re: Exo d'analyse Help

Message par zygomatique » 11 sept. 2022 11:45

Contrexemple a écrit :
11 sept. 2022 11:05

Pour quel t ton inégalité est valable ?
il faudrait peut-être lire ce que j'écris !!

une fois a déterminé et fixé par la définition de lim f'(t) = k je ne travaille que pour t > a

puisqu'on veut faire tendre t vers +oo

PS : et sortir des lim sup et lim inf en début d'année de prépa ... :shock:

je n'utilise que des choses de lycée ... voire même collège pour les opérations sur les inégalités ... :wink:
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Re: Exo d'analyse Help

Message par Contrexemple » 11 sept. 2022 11:57

Il est clair que ton raisonnement, n'est pas clair pour moi.

Je te laisse discuter avec ce qui trouve ton raisonnement irréprochable.

Bonne discussion.

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Re: Exo d'analyse Help

Message par H2Fooko » 11 sept. 2022 13:07

Merci zygomatique,

Pour moi il s'est nettement clarifié 😊
Je ne pensais pas que le TAF était utilisé entre ces 2 lignes là de ton post :
zygomatique a écrit :
09 sept. 2022 16:14
lim f'(t) = k donc par définition pour tout e > 0 il existe a > 0 tel que : t > a => k - e < f'(t) < k + e
et alors toujours pour t > a : (t - a)(k - e) < f(t) - f(a) < (t - a)(k + e)
Milles excuses.
Bêtement j'avais imaginé une ligne intermédiaire en me disant que la 1ère ligne était en particulier vraie pour t tendant vers a par valeur supérieure du taux d'accroissement i.e. :

pour tout e > 0 il existe a > 0 tel que : t > a => $$ k-e<\lim\limits_{\begin{array}{r}
t\rightarrow a \\
t>a
\end{array}} \dfrac{f(t)-f(a)}{t-a} < k+e $$

de là je ne voyais pas comment supprimer la limite pour obtenir ta seconde ligne.

zygomatique a écrit :
11 sept. 2022 10:55
.../...
quant à mon inégalité c'est le TAF :

avec (*) pour me débarrasser des barres de valeurs absolues si pour t > a il existe u € [a, t] tel que f(t) - f(a) = f'(u) (t - a) et si k - e < f'(u) < k + e pour tout u > a alors

(t - a)(k - e) < f(t) - f(a) < (t - a)(k + e)

qui se déduit par simple opération sur les inégalités
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Re: Exo d'analyse Help

Message par zygomatique » 11 sept. 2022 13:33

Contrexemple a écrit :
11 sept. 2022 11:57
Il est clair que ton raisonnement, n'est pas clair pour moi.

Je te laisse discuter avec ce qui trouve ton raisonnement irréprochable.

Bonne discussion.
c'est bien dommage ...

pour ma part tes démonstrations sont tellement alambiquées et embrouillées que je ne les comprends que rarement ... :?

H2Fooko :

si sur l'intervalle [a, +oo[ : $ m \le f' \le M $ alors pour t > a il existe un réel u € [a, t] tel que $ f(t) - f(a) =f'(u) (t - a) $

alors immédiatement $ m(t - a) \le f(t) - f(a) \le M(t - a) $ c'est le TAF !!

et il suffit de diviser par t ... avec m = k - e et M = k + e

:wink:
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