Exos sympas MP(*)

Un problème, une question, un nouveau théorème ?

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par E3A 4ever » 21 août 2022 12:51

Contrexemple a écrit :
07 août 2022 22:48
Soit $L$ forme linéaire continue, non nulle, de $C([0,1])$ munit de la norme uniforme et tel que :
$$\forall f,g \in C([0,1]), L(f \times g)=L(f) \times L(g) $$.

A-t-on $\exists x_0 \in [0,1], \forall f\in C([0,1]), L(f)=f(x_0)$ ?
SPOILER:
Non, il suffit de prendre x_0 et x_1 tous deux différents et de considérer L(f)=f(x_0)*f(x_1). À noter qu'en revanche, par compacité de [0,1], si on avait rajouté la condition L(f+g)=L(f)+L(g), cela aurait été vrai (on peut déterminer les morphismes d'anneaux continus de C^0(K,R) dans R lorsque K est compact).
Edit: mea culpa, je n'avais pas vu forme linéaire dans l'énoncé. Je rectifie: c'est vrai, il faut se servir de la propriété de Borel Lebesgue de la compacité de [0,1], je rédigerai une preuve tout à l'heure (l'hypothèse forme linéaire est même un peu forte de fait)
Bon je fais court: L étant un morphisme d'anneau et une forme linéaire non nulle, son noyau est un idéal I de C^0([0,1],R) et un hyperplan. En particulier, comme I n'est pas tout C^0([0,1],R) car L est non nulle, on a x_0 tel que pour tout f dans I, f(x_0)=0 (par l'absurde sinon on peut recouvrir [0,1] par des intervalles ouverts où au moins un élément de I ne s'annule pas, en prendre un sous-recouvrement fini par compacité et considérer la somme des carrés des éléments correspondants qui ne s'annulent pas sur chaque voisinage (en nombre fini), qui ne s'annule pas sur [0,1] et est dans I, et inversible, absurde. Finalement on considère E(x_0): f|->f(x_0) qui coïncide avec L sur l'hyperplan I=Ker L ce qui impose E(x_0)=lambda*L, et puisque E(x_0) est non nulle, lambda est non nul, et on a par ailleurs lambda=1 en regardant E(x_0)(f^2) avec E(x_0)(f) non nul. Comme je l'ai signalé, on peut se contenter de prendre pour hypothèse morphisme d'anneau continu et montrer que cela impose L linéaire.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Contrexemple » 25 août 2022 19:15

Salut,

Un sympa sur les polynômes :

$ $Soit $P\in\mathbb R[x]$ non nul. A-t-on $$\sum\limits^{2^{deg(P)+1}-1}_{k=0}(-1)^{s(k)}P(k)=0$$ ?


PS : $s(k)$ est la somme des chiffres de $k$ écrit en base 2, $s(3)=s(1+2)=1+1=2,s(7)=s(1+2+4)=1+1+1=3$
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Contrexemple » 09 sept. 2022 14:27

Un peu d'analyse fonctionnelle :

On se place dans $E=C_b(\mathbb R)$ l'ensemble des fonctions continues bornées sur les réels.

A-t-on l'existence d'une suite réel $(a_n)$ qui forme une série absolument convergente et $(A_n)$ une suite de réels, tel que $$\forall f\in E,\forall x\in\mathbb R, f(0)=\sum \limits_{n\in \mathbb N} a_n\times f(x+A_n)$$ ?



Régularité maximale :

$ $Soit $f$ lipschitzienne sur $[0,1]$ et partout dérivable. A-t-on $f \in C^1([0,1])$ ?



Du Lipschitz pour tous :

$ $Soit $f$ fonction réel, dérivable en tout point de $[0,1]$. A-t-on $f$ lipschitzienne sur $[0,1]$ ?



Nilpotence atteinte ?

$ $ Soit $f\in C([0,1],[0,1])$ convexe, telle que :
$$\forall x \in [0,1], \exists k\in \mathbb N, f^k(x)=0 $$

A-t-on $f$ nilpotente ?


Nilpotence pour tous ?

$ $ Soit $f\in C([0,1],[0,1])$, telle que :
$$\forall x \in [0,1], \exists k\in \mathbb N, f^k(x)=0 $$

A-t-on $f$ nilpotente ?
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Contrexemple » 13 sept. 2022 16:15

Contrexemple a écrit :
09 sept. 2022 14:27
Régularité maximale :

$ $Soit $f$ lipschitzienne sur $[0,1]$ et partout dérivable. A-t-on $f \in C^1([0,1])$ ?
Résolue par la communauté mathoverflow :

https://mathoverflow.net/questions/4303 ... e-function


Par la communauté aops :

Nilpotence atteinte :

https://artofproblemsolving.com/communi ... e_affected


Du Lipschitz pour tous :

https://artofproblemsolving.com/communi ... tz_for_all
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Contrexemple » 21 sept. 2022 19:54

Calcul infaisable ?

Soient $f_0:x\rightarrow x+1$ et $f_1: x\rightarrow 3x$.

Calculer $\sum \limits_{x\in \{0,1\}^{2022}} ((\circ_{i=1}^{2022} f_{x_i})(1))^2 \mod 2^{89}-1$. Donner l'algorithme utilisé.

Par exemple $x=(0,1,1)$ : $((\circ_{i=1}^3 f_{x_i})(1))^2=(f_0 \circ f_1 \circ f_1 (1))\times (f_0 \circ f_1 \circ f_1 (1)) $

la solution est : 189593886242148125407566458
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