Preuve Weierstrass via Lagrange
Preuve Weierstrass via Lagrange
Bonjour,
je me demandais s'il existait une preuve du théorème d'approximation polynômiale de Weierstrass via le théorème de Lagrange.
On considère une fonction continue donc uniformément continue par Heine sur [a,b].
$ \forall
\varepsilon
>
0
\exists
\alpha
\forall
(x,y)
\in
[a,b]^2
|x-y|
<
\alpha
=>
|f(x) - f(y)|
<
\varepsilon
on
pose
n
=
\lceil
(b-a)/
\alpha
\rceil
$
et on interpole grâce au théorème de Lagrange sur n points distants de alpha et on a alors instantanément ||f - Pn|| < $ \varepsilon $
je me demandais s'il existait une preuve du théorème d'approximation polynômiale de Weierstrass via le théorème de Lagrange.
On considère une fonction continue donc uniformément continue par Heine sur [a,b].
$ \forall
\varepsilon
>
0
\exists
\alpha
\forall
(x,y)
\in
[a,b]^2
|x-y|
<
\alpha
=>
|f(x) - f(y)|
<
\varepsilon
on
pose
n
=
\lceil
(b-a)/
\alpha
\rceil
$
et on interpole grâce au théorème de Lagrange sur n points distants de alpha et on a alors instantanément ||f - Pn|| < $ \varepsilon $
Dernière modification par JosephLeger le 03 nov. 2022 10:42, modifié 7 fois.
Re: Preuve Weierstrass via Lagrange
Oui, excuse moi c'est mes premiers pas en LateX je galère à écrire quelque chose de lisible haha. Je parle à celui qui stipule l'existence d'un polynome de degré n passant par n+1 points. Ici en l'occurrence les (x,f(x))
Re: Preuve Weierstrass via Lagrange
Merci, ça ne pouvait pas en effet être si simple comparé aux autres preuves de Weierstrass...
Re: Preuve Weierstrass via Lagrange
pensez vous qu'avec une fonction C1 et une interpolation d'Hermite la preuve serait cette fois ci valable ?
Re: Preuve Weierstrass via Lagrange
Pour $f\in C^2([0,1])$ oui d'aprés wiki : https://fr.wikipedia.org/wiki/Interpolation_d%27Hermite
Pour $f\in C^1([0,1])$, on peut se ramener à $C^2$ en passant par $g_n(x)=n\int_0^{1/n} f(x+t) \text{d}x$ qui est une approximation de fonctions $C^2$ qui tend vers $f$.
PS : on prolonge $f \in C^1([0,1])$ sur $[0,2]$ en prenant $f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)$ quand $x \in [1,2]$
Pour $f\in C^1([0,1])$, on peut se ramener à $C^2$ en passant par $g_n(x)=n\int_0^{1/n} f(x+t) \text{d}x$ qui est une approximation de fonctions $C^2$ qui tend vers $f$.
PS : on prolonge $f \in C^1([0,1])$ sur $[0,2]$ en prenant $f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)$ quand $x \in [1,2]$
Re: Preuve Weierstrass via Lagrange
Je pense que non. La majoration classique de l'erreur demande une fonction dont la classe dépend du nombre de points de la subdivision choisie.JosephLeger a écrit : ↑04 nov. 2022 23:10pensez vous qu'avec une fonction C1 et une interpolation d'Hermite la preuve serait cette fois ci valable ?
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève