Bonjour,
je me demandais s'il existait une preuve du théorème d'approximation polynômiale de Weierstrass via le théorème de Lagrange.
On considère une fonction continue donc uniformément continue par Heine sur [a,b].
$ \forall
\varepsilon
>
0
\exists
\alpha
\forall
(x,y)
\in
[a,b]^2
|x-y|
<
\alpha
=>
|f(x) - f(y)|
<
\varepsilon
on
pose
n
=
\lceil
(b-a)/
\alpha
\rceil
$
et on interpole grâce au théorème de Lagrange sur n points distants de alpha et on a alors instantanément ||f - Pn|| < $ \varepsilon $
Preuve Weierstrass via Lagrange
Preuve Weierstrass via Lagrange
Dernière modification par JosephLeger le 03 nov. 2022 10:42, modifié 7 fois.
Re: Preuve Weierstrass via Lagrange
Oui, excuse moi c'est mes premiers pas en LateX je galère à écrire quelque chose de lisible haha. Je parle à celui qui stipule l'existence d'un polynome de degré n passant par n+1 points. Ici en l'occurrence les (x,f(x))
Re: Preuve Weierstrass via Lagrange
Merci, ça ne pouvait pas en effet être si simple comparé aux autres preuves de Weierstrass...
Re: Preuve Weierstrass via Lagrange
pensez vous qu'avec une fonction C1 et une interpolation d'Hermite la preuve serait cette fois ci valable ?
Re: Preuve Weierstrass via Lagrange
Pour $f\in C^2([0,1])$ oui d'aprés wiki : https://fr.wikipedia.org/wiki/Interpolation_d%27Hermite
Pour $f\in C^1([0,1])$, on peut se ramener à $C^2$ en passant par $g_n(x)=n\int_0^{1/n} f(x+t) \text{d}x$ qui est une approximation de fonctions $C^2$ qui tend vers $f$.
PS : on prolonge $f \in C^1([0,1])$ sur $[0,2]$ en prenant $f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)$ quand $x \in [1,2]$
Pour $f\in C^1([0,1])$, on peut se ramener à $C^2$ en passant par $g_n(x)=n\int_0^{1/n} f(x+t) \text{d}x$ qui est une approximation de fonctions $C^2$ qui tend vers $f$.
PS : on prolonge $f \in C^1([0,1])$ sur $[0,2]$ en prenant $f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)$ quand $x \in [1,2]$
Re: Preuve Weierstrass via Lagrange
Je pense que non. La majoration classique de l'erreur demande une fonction dont la classe dépend du nombre de points de la subdivision choisie.JosephLeger a écrit : ↑04 nov. 2022 23:10pensez vous qu'avec une fonction C1 et une interpolation d'Hermite la preuve serait cette fois ci valable ?
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève