Démonstration de l'existence d'une forme linéaire

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Démonstration de l'existence d'une forme linéaire

Message par Georges10 » 29 nov. 2022 03:51

Bonjour à tous. Vous allez bien, je l'espère
S'il vous plaît, j'aimerais que vous m'aidiez dans cet exercice, plus précisement, j'ai besoin d'indiactions.

Soit E un espace vectoriel normé et F un sous-espace vectoriel de E.
Montrez que F est strictement inclus dans E si et seulement s'il existe une forme linéaire phi élément de
E*\{0} telle que la restriction de phi à F est nulle.

Merci d'avance !

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Re: Démonstration de l'existence d'une forme linéaire

Message par aguichet » 01 déc. 2022 10:16

Idée : considérer un vecteur x qui n'est pas dans F, poser D=Vect(x), considérer un supplémentaire G de F+D puis s'intéresser à la forme linéaire phi qui envoie a.x sur a et tout vecteur de F+G sur le vecteur nul.
Professeur de mathématiques approfondies en ECG2, lycée Touchard-Washington, Le Mans

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