Exos sympas MP(*)
Re: Exos sympas MP(*)
oty est-ce que c’est un exo de concours ?
Re: Exos sympas MP(*)
C'est un AMM, vous pouvez consulter ce lien pour la solution officiel que je trouve personnellement manque de clarté.
https://artofproblemsolving.com/communi ... 0p26796494
https://artofproblemsolving.com/communi ... 0p26796494
''L’ennemi du savoir , n'est pas l'ignorance , mais l'illusion du savoir '' .
Re: Exos sympas MP(*)
Salut,
Fibonacci et le nombre de Graham :
Soient $(F_n)_n$ la suite de Fibonacci et $G$ le nombre de Graham. Calculer $F_G \mod (2^{89}-1)$
https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Graham
Des entiers plein la tête :
Soit $n \in\mathbb N^*$.
Déterminer les fonctions surjectives $f: \mathbb N \rightarrow \{0,...,n-1\}=E $ tel qu'il existe $g,h$ fonctions de $E^2$ dans $E$
avec $\forall ( m,k) \in\mathbb N^2,f(m+k)=g(f(m),f(k)),f(m\times k)=h(f(m),f(k))$.
Plein les sinus :
Soit $f\in C([0,1],\mathbb R)$.
Existent-ils $(a_k)_k$ termes généraux d'une série absolument convergente et $b$ réel tels que :
$\forall x\in [0,1], f(x)=b+\sum \limits_{k=0}^\infty a_k\sin^k(x)$
PS : $\sin^2(x)=\sin \circ \sin (x)$
Convexité d'ordre supérieure :
Soit $f \in C^n(\mathbb R)$. Trouver une CNS sur $f$ avec : $f^{(n)} \geq 0$ ssi $CNS(f)$
PS : la condition $CNS(f)$ existe même si $f \in C(\mathbb R)$, et on note $g^{(1)}(x)=g'(x)$
Monotonie stricte ou non :
Soit $f\in C([0,1],[0,1])$.
1) on suppose $f\circ f$ monotone. A-t-on $f$ monotone?
2) on suppose $f\circ f$ strictement monotone. A-t-on $f$ strictement monotone?
Une equation diophantienne :
Résoudre pour $(x,y) \in \mathbb Z^2$ : $3+xy^2+y+x^2=0$.
Fibonacci et le nombre de Graham :
Soient $(F_n)_n$ la suite de Fibonacci et $G$ le nombre de Graham. Calculer $F_G \mod (2^{89}-1)$
https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Graham
Des entiers plein la tête :
Soit $n \in\mathbb N^*$.
Déterminer les fonctions surjectives $f: \mathbb N \rightarrow \{0,...,n-1\}=E $ tel qu'il existe $g,h$ fonctions de $E^2$ dans $E$
avec $\forall ( m,k) \in\mathbb N^2,f(m+k)=g(f(m),f(k)),f(m\times k)=h(f(m),f(k))$.
Plein les sinus :
Soit $f\in C([0,1],\mathbb R)$.
Existent-ils $(a_k)_k$ termes généraux d'une série absolument convergente et $b$ réel tels que :
$\forall x\in [0,1], f(x)=b+\sum \limits_{k=0}^\infty a_k\sin^k(x)$
PS : $\sin^2(x)=\sin \circ \sin (x)$
Convexité d'ordre supérieure :
Soit $f \in C^n(\mathbb R)$. Trouver une CNS sur $f$ avec : $f^{(n)} \geq 0$ ssi $CNS(f)$
PS : la condition $CNS(f)$ existe même si $f \in C(\mathbb R)$, et on note $g^{(1)}(x)=g'(x)$
Monotonie stricte ou non :
Soit $f\in C([0,1],[0,1])$.
1) on suppose $f\circ f$ monotone. A-t-on $f$ monotone?
2) on suppose $f\circ f$ strictement monotone. A-t-on $f$ strictement monotone?
Une equation diophantienne :
Résoudre pour $(x,y) \in \mathbb Z^2$ : $3+xy^2+y+x^2=0$.
Re: Exos sympas MP(*)
Pour 3+xy^2+y+x^2=0 sur les entiers (x,y)=(-9,-3) ou ( 0,-3)
Re: Exos sympas MP(*)
Bonjour,
le compte est bon :
On dispose des nombres entiers de 1 jusqu'à 100.
En utilisant l'addition seulement et chaque nombre au plus une fois, combien y-a-t-il de manière diffèrente d'obtenir 2023 ?
$ $
Courbe elliptique :
Déterminer les solutions entières de $y^2=x^3+2x+5$.
Inégalité intégrale :
Soit $f \in C^1([0,1])$ et $\int_0^1 f =0$.
A-t-on $$\left| \int_0^1f(x)\times \exp(x)\text{d}x \right| \leq ||f'||_\infty\times \dfrac{||f||_\infty+1}{7}$$?
Divisibilité :
Soient $(a,n,k)\in(\mathbb N^*)^3$ avec $\gcd(n!,k)=1$. A-t-on $n!|\prod \limits_{i=1}^n(a+i\times k)$?
PS : les énigmes que j'ai effacé, ont été résolues sur aops ou mathoverflow.
le compte est bon :
On dispose des nombres entiers de 1 jusqu'à 100.
En utilisant l'addition seulement et chaque nombre au plus une fois, combien y-a-t-il de manière diffèrente d'obtenir 2023 ?
$ $
Courbe elliptique :
Déterminer les solutions entières de $y^2=x^3+2x+5$.
Inégalité intégrale :
Soit $f \in C^1([0,1])$ et $\int_0^1 f =0$.
A-t-on $$\left| \int_0^1f(x)\times \exp(x)\text{d}x \right| \leq ||f'||_\infty\times \dfrac{||f||_\infty+1}{7}$$?
Divisibilité :
Soient $(a,n,k)\in(\mathbb N^*)^3$ avec $\gcd(n!,k)=1$. A-t-on $n!|\prod \limits_{i=1}^n(a+i\times k)$?
PS : les énigmes que j'ai effacé, ont été résolues sur aops ou mathoverflow.
Re: Exos sympas MP(*)
Bonjour les jeunes
Un exo hyper difficile
Soit n un entier positif. Au plus combien de vecteurs unitaires distincts peuvent être sélectionnés dans Rn tel que de trois d’entre eux, au moins deux sont orthogonaux?
Un exo hyper difficile
Soit n un entier positif. Au plus combien de vecteurs unitaires distincts peuvent être sélectionnés dans Rn tel que de trois d’entre eux, au moins deux sont orthogonaux?
Re: Exos sympas MP(*)
Bon courage pour les oraux.
$ $
Nature de séries :
Soit $(a_n)_n$ une suite croissante réelle, non nul avec $\lim a_n=+\infty$. A-t-on $\sum \limits_{n\in\mathbb N}\dfrac{\cos(n+a_n)}{a_n^2}$ converge?
Calcul impossible :
Déterminer les 3 premiers chiffres de $2^{2^{2023}}$.
La super inégalité triangulaire :
On se place dans le plan eulclidien. Soit $ABC$ un triangle et $D$ un point dans $ABC$.
A-t-on $AB+BC \geq AD+DC$ ?
Un résultat étrange sur les fonctions lipschitziennes :
Soit $f\in C(\mathbb R^n,\mathbb R^n)$ lipschitizian.
Montrer que $\exists B >A,\exists \gamma \in C([A,B],\mathbb R^n)$ avec $\forall t\in [A, B], f(\gamma(t))=t\gamma(t)$
Travail en series :
Soit $(a_n)_n \in (\mathbb R_+^*)^{\mathbb N}$ avec $\sum\limits_{n\in\mathbb N} a_n=+\infty$. A-t-on $\sum \limits_{n\in\mathbb N} \dfrac{a_n}{\sum \limits_{k=0}^n a_k} =+\infty$ ?
Série limitée :
Existe-t-il $(a_n)_n \in (\mathbb R^*_+)^{\mathbb N}$ avec $\sum a_n=+\infty$, et $\forall (b_n)_n \in \mathbb R^{\mathbb N}$ tel que $\lim b_n=0$ alors $\sum a_n\times b_n$ converge ?
$ $
Nature de séries :
Soit $(a_n)_n$ une suite croissante réelle, non nul avec $\lim a_n=+\infty$. A-t-on $\sum \limits_{n\in\mathbb N}\dfrac{\cos(n+a_n)}{a_n^2}$ converge?
Calcul impossible :
Déterminer les 3 premiers chiffres de $2^{2^{2023}}$.
La super inégalité triangulaire :
On se place dans le plan eulclidien. Soit $ABC$ un triangle et $D$ un point dans $ABC$.
A-t-on $AB+BC \geq AD+DC$ ?
Un résultat étrange sur les fonctions lipschitziennes :
Soit $f\in C(\mathbb R^n,\mathbb R^n)$ lipschitizian.
Montrer que $\exists B >A,\exists \gamma \in C([A,B],\mathbb R^n)$ avec $\forall t\in [A, B], f(\gamma(t))=t\gamma(t)$
Travail en series :
Soit $(a_n)_n \in (\mathbb R_+^*)^{\mathbb N}$ avec $\sum\limits_{n\in\mathbb N} a_n=+\infty$. A-t-on $\sum \limits_{n\in\mathbb N} \dfrac{a_n}{\sum \limits_{k=0}^n a_k} =+\infty$ ?
Série limitée :
Existe-t-il $(a_n)_n \in (\mathbb R^*_+)^{\mathbb N}$ avec $\sum a_n=+\infty$, et $\forall (b_n)_n \in \mathbb R^{\mathbb N}$ tel que $\lim b_n=0$ alors $\sum a_n\times b_n$ converge ?
Re: Exos sympas MP(*)
Salut,
L'équivalent impossible :
Déterminer un equivalent de $\sum \limits_{k=0}^n (\sin(k^{1/3}))^2$.
Equations fonctionnelles :
a) Y a t il une fonction $f$, non constante, continue périodique telle que $\forall x \in \mathbb R, f(2x)=3 f(x) \times (1-f(x))$
b)Y a t il une fonction $f$, non constante, continue périodique telle que $\forall x \in \mathbb R, f(2x)=4 f(x) \times (1-f(x))$
Bonne recherche.
L'équivalent impossible :
Déterminer un equivalent de $\sum \limits_{k=0}^n (\sin(k^{1/3}))^2$.
Equations fonctionnelles :
a) Y a t il une fonction $f$, non constante, continue périodique telle que $\forall x \in \mathbb R, f(2x)=3 f(x) \times (1-f(x))$
b)Y a t il une fonction $f$, non constante, continue périodique telle que $\forall x \in \mathbb R, f(2x)=4 f(x) \times (1-f(x))$
Bonne recherche.
Re: Exos sympas MP(*)
Pour l’équivalent sin^2(k^(1/3)) = 1/2 - 1/2cos(2k^(1/3)) puis Euler-Maclaurin
Trois premiers chiffres de 2^(2^2023) est 115
Trois premiers chiffres de 2^(2^2023) est 115