Fonctions à trouver

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Re: Fonctions à trouver

Message par Contrexemple » 23 janv. 2023 10:01

$ $@H2FooKo : Si $g$ fonction continue et périodique est solution, alors elle atteindrait son max, et en re-utilisant le raisonnement de Zygomatique, $g$ serait constante.

PS : il n'y a pas à s'excuser d'avoir un esprit combatif...

Edit : question posée à l'ENS-Ulm, exo 93 :

https://www.rms-math.com/images/stories ... 22-RMS.pdf

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Re: Fonctions à trouver

Message par H2Fooko » 05 févr. 2023 18:35

Merci Contrexemple,

En cherchant la définition de la période d'une fonction, pour savoir - entre autre - si elle est unique je suis tombé sur ce fil de discussion :
https://les-mathematiques.net/vanilla/i ... nt_1752654

La définition donnée par BobbyJoe:
La période d'une fonction $ f $ est définie par $ T=\inf \{t>0; \forall x\in\mathbb{R} : f(x+t)=f(x)\}, $ si l'ensemble précédent est non vide (avec la convention que $ T=+\infty $ si l'ensemble est vide
D'ailleurs le Wikipédia anglais fait la différence entre "a period" et "the period", différentiant cette dernière par
fundamental period (also primitive period, basic period, or prime period
Si l'on accepte l'unicité de la période d'une fonction au sens exprimé ci-dessus, ce que j'ai ecrit ci dessous est faux.
H2Fooko a écrit :
22 janv. 2023 22:11
$$ \left( \omega=\frac{2.\pi}{1+\pi}\text{ et }\omega=\frac{2.\pi}{1-\pi} \right) $$
.../...
Je serais pas loin de penser qu'il faudrait rajouter aux fonctions constantes les fonctions périodiques de période:
$$ ppcm(1-\pi;\ 1+\pi)=\pi^{2}-1 $$
Il n'y a pas de fonction périodique satisfaisant d'être à la fois ($ 1+\pi $) et ($ 1-\pi $) périodiques

$ \boxed{\omega=0\text{ soit }T\to \infty } $ est la seule solution de mon impasse ?
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Re: Fonctions à trouver

Message par Contrexemple » 11 févr. 2023 13:38

Ici une solution : https://mathoverflow.net/questions/4401 ... ng-propert

Mais elle est largement hors programme.

$ $Edit : La définition de la période par BobbyJoe ne marche pas pour toutes les fonctions réelles, en effet prendre $f(x)=\mathbb{1}_{\mathbb Q}(x)$ l'indicatrice des rationnelles.

Sauf à accepter qu'une fonction de période nulle, n'est pas forcément constante.

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Re: Fonctions à trouver

Message par H2Fooko » 11 févr. 2023 18:35

Bonsoir Contrexemple,

Cela dépasse largement mes compétences, mais je constate que Iosif Pinelis (le posteur qui a reçu le plus de votes sur le forum que tu cites) a eu une intuition similaire à la mienne d'essayer la transformée de Fourier qui est la petite sœur de la transformée de Laplace (le second ayant été le professeur du premier).

Cette transformée permet dans certains cas de trouver des solutions (voir les exos d'AashiK) de certaines équations fonctionnelles et peut constituer une piste pour les taupins.

Bref, ce qui a mis l'automaticien que je suis sur la piste de Laplace c'est d'avoir reconnu l'expression temporelle de retards purs "plus facile à manier" (note les guillemets) dans le domaine de Laplace.

L'indicatrice des rationnelles est-elle continue ?
Rappelons les conditions de l'exo initial donné par Certus sur le type de solutions à chercher:
les fonctions g de R dans R continues et bornées
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