Fonction dérivable réelle dans un evn
Fonction dérivable réelle dans un evn
On a vu dans le cours de calcul différentiel en dim finie qu'une fonction est derivable en x si chaque composante de la fonction dans une base de cet evn est derivable en x. Pourquoi on ne tient pas compte de la base choisie ? Lorsqu'on derive, la derivée ne dépend pas de la base ? Ne doit on pas donc tenir compte de cela ?
Re: Fonction dérivable réelle dans un evn
Bonjour,
Notons $ \mathcal{B} = (e_1,\ldots,e_n) $ et $ \mathcal{B}' = (v_1,\ldots,v_n) $ deux bases d'un evn E (donc de dimension $ n $).
On note $ f : \mathbb{R} \mapsto E $ une fonction telle que $ f(x) = \displaystyle \sum_{i=1}^n f_i(x) e_i = \sum_{j=1}^n g_j(x) v_j $ et observons ce qu'il en est.
Supposons que pour tout $ 1 \leq i \leq n $, $ f_i $ est dérivable.
On sait qu'il existe $ (p_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n} $ tels que pour $ 1 \leq j \leq n $, $ \displaystyle e_i = \sum_{j=1}^n p_{i,j} v_j $ ( Ce sont les coefficients d'une certaine matrice de passage ).
De ce fait, pour $ x \in \mathbb{R} $, $ 1 \leq j \leq n $, $ g_j(x) = \displaystyle \sum_{i=1}^n p_{i,j} f_i(x) $
( car $ f(x) = \displaystyle \sum_{i=1}^n f_i(x) e_i =\sum_{i=1}^n f_i(x) \left(\sum_{j=1}^n p_{i,j} v_j\right) = \sum_{j=1}^n \left(\sum_{i=1}^n p_{i,j} f_i(x)\right) v_j $.)
Donc pour $ 1 \leq j \leq n $, $ g_j $ est dérivable sur $ \mathbb{R} $, de dérivée $ g'_j(x) =\displaystyle \sum_{i=1}^n p_{i,j}f_i'(x) $.
La propriété "dérivable en chaque composante de la base" est donc indifférente à la base !
Notons $ \mathcal{B} = (e_1,\ldots,e_n) $ et $ \mathcal{B}' = (v_1,\ldots,v_n) $ deux bases d'un evn E (donc de dimension $ n $).
On note $ f : \mathbb{R} \mapsto E $ une fonction telle que $ f(x) = \displaystyle \sum_{i=1}^n f_i(x) e_i = \sum_{j=1}^n g_j(x) v_j $ et observons ce qu'il en est.
Supposons que pour tout $ 1 \leq i \leq n $, $ f_i $ est dérivable.
On sait qu'il existe $ (p_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n} $ tels que pour $ 1 \leq j \leq n $, $ \displaystyle e_i = \sum_{j=1}^n p_{i,j} v_j $ ( Ce sont les coefficients d'une certaine matrice de passage ).
De ce fait, pour $ x \in \mathbb{R} $, $ 1 \leq j \leq n $, $ g_j(x) = \displaystyle \sum_{i=1}^n p_{i,j} f_i(x) $
( car $ f(x) = \displaystyle \sum_{i=1}^n f_i(x) e_i =\sum_{i=1}^n f_i(x) \left(\sum_{j=1}^n p_{i,j} v_j\right) = \sum_{j=1}^n \left(\sum_{i=1}^n p_{i,j} f_i(x)\right) v_j $.)
Donc pour $ 1 \leq j \leq n $, $ g_j $ est dérivable sur $ \mathbb{R} $, de dérivée $ g'_j(x) =\displaystyle \sum_{i=1}^n p_{i,j}f_i'(x) $.
La propriété "dérivable en chaque composante de la base" est donc indifférente à la base !