Soit E un R ev, déterminer une CNS sur E tel que : CNS(E) ssi E de dim finie.
Avec CNS qui s'exprime sur les ensembles et sur le treilli de E, seulement.
SPOILER:
$ $Il y a deux types d'activités mathématiques :
1/ Les maths (lambda) que tout le monde connaît, comme celle que l'on fait en prépa
2/ Les maths (alpha) qui sont peu connues, et consistent à donner un sens formel à des choses qui n'en ont pas encore...
En faisant ce genre d'exos on se prépare à la pratique des maths alpha.
Ceci étant dit je vais introduire des défintions qui vont permettre de répondre à cette question.
Le but est de faire ce que la topologie générale à fait pour le continue, mais dans le domaine de l'algébre.
Définition 1 : $(S,T)$ est une structure si $T \subset P(S)$, $S\in T$ et $T$ stable par intersection quelconque.
Definition 2 : Soit $U \subset S$, $T(U)=\bigcap \limits_{F \in T,U \subset F} F$.
Definition 3 : $L \subset S$ iest libre si $\forall l \in L, l\notin T(L-\{ l \})$.
Definition 4 : Soit $A \in T$. $\dim_{+}(A)=\sup\{ card(V) \mid V \subset A, V \text{ est libre}\}$.
Definition 5 : Soit $A \in T$. $\dim_{-}(A)=\inf\{card(G)\mid G \subset A, T(G)=A\}$.
Definition 6 : $A \in T$ a une dimension finie, si $\dim_+(A)=\dim_-(A)=\dim(A) \in\mathbb N$.
Definition 7 : $(S,T)$ est une structure régulière, si $(S,T)$ est une structure et $$\forall F \subset S, F \text{ libre },a\in S,a\notin T(F), \text{ then } F \cup \{a\} \text{ est libre} $$.
Theorem 1 : Soit $(S, T) $ une structure alors $\forall A \in T$, $\dim_+(A) \geq \dim_-(A)$.
Theorem 2 : Soit $(S,T)$ une structure régulière et $S$ avec une dimension finie. Alors
\begin{gather*}
\forall A \in T, A \text{ has a finite dimension} \\
\forall (A, B) \in T^2, A\subset B, \dim(A)=\dim(B), \text{ then } A=B.
\end{gather*}
PS : il m'a fallut du temps pour trouver les bonnes définitions...
Quelques exos pour manipuler les concepts :
A) Déterminer dim+(Z),dim-(Z),dim+(Z/nZ), dim-(Z/nZ)
B) Soit R munit de la strucutre des fermés.
1) Déterminer $dim(R) $
2) Déterminer $S$ fermé tel que $card(S) =card(\mathbb R) $ et $S$ possède une base : une famille libre et génératrice.
1/ Les maths (lambda) que tout le monde connaît, comme celle que l'on fait en prépa
2/ Les maths (alpha) qui sont peu connues, et consistent à donner un sens formel à des choses qui n'en ont pas encore...
En faisant ce genre d'exos on se prépare à la pratique des maths alpha.
Ceci étant dit je vais introduire des défintions qui vont permettre de répondre à cette question.
Le but est de faire ce que la topologie générale à fait pour le continue, mais dans le domaine de l'algébre.
Définition 1 : $(S,T)$ est une structure si $T \subset P(S)$, $S\in T$ et $T$ stable par intersection quelconque.
Definition 2 : Soit $U \subset S$, $T(U)=\bigcap \limits_{F \in T,U \subset F} F$.
Definition 3 : $L \subset S$ iest libre si $\forall l \in L, l\notin T(L-\{ l \})$.
Definition 4 : Soit $A \in T$. $\dim_{+}(A)=\sup\{ card(V) \mid V \subset A, V \text{ est libre}\}$.
Definition 5 : Soit $A \in T$. $\dim_{-}(A)=\inf\{card(G)\mid G \subset A, T(G)=A\}$.
Definition 6 : $A \in T$ a une dimension finie, si $\dim_+(A)=\dim_-(A)=\dim(A) \in\mathbb N$.
Definition 7 : $(S,T)$ est une structure régulière, si $(S,T)$ est une structure et $$\forall F \subset S, F \text{ libre },a\in S,a\notin T(F), \text{ then } F \cup \{a\} \text{ est libre} $$.
Theorem 1 : Soit $(S, T) $ une structure alors $\forall A \in T$, $\dim_+(A) \geq \dim_-(A)$.
Theorem 2 : Soit $(S,T)$ une structure régulière et $S$ avec une dimension finie. Alors
\begin{gather*}
\forall A \in T, A \text{ has a finite dimension} \\
\forall (A, B) \in T^2, A\subset B, \dim(A)=\dim(B), \text{ then } A=B.
\end{gather*}
PS : il m'a fallut du temps pour trouver les bonnes définitions...
Quelques exos pour manipuler les concepts :
A) Déterminer dim+(Z),dim-(Z),dim+(Z/nZ), dim-(Z/nZ)
B) Soit R munit de la strucutre des fermés.
1) Déterminer $dim(R) $
2) Déterminer $S$ fermé tel que $card(S) =card(\mathbb R) $ et $S$ possède une base : une famille libre et génératrice.
