Cosmographie mathématique

[actiflanuit60]

Problème pour lycéens, pas si anodin :

Soit STT' un triangle isocèle de sommet principal S, tel que l'angle (T,S,T') vaut 10° (valeur pas si arbitraire).
H est un point du coté [T,S] tel que TH soit [nettement] inférieur à TT'.
H' est l'un des deux points du plan défini par S, T et T', situé à l'intérieur du triangle STT' et tel que T'H' = TH et mes(T',H',T) = 90°

On suppose que l'angle (H',H,S) est strictement obtus.
Soit a la valeur de l'angle (H',S,T') en degré.

1) Démontrer qu'il existe pour a une valeur minimale non nulle, et préciser ce minimum à l'aide de deux décimales après la virgule.

2) En notant ST = ST' = D et TH = T'H' = d, déduire du 1) que D/d est majoré par une valeur que l'on précisera à l'aide de deux décimales après la virgule.

3) Pour les lycéens quelque peu initiés à l'astronomie

S'inspirer de ce qui précède en se justifiant, pour trouver un majorant à la distance moyenne Terre-Soleil, supposée inconnue (celle entre la Terre et la Lune valant 384400 km environ).

Attention :
À la différence de S, T ou T', facilement identifiables, H et H' ne correspondront pas vraiment aux centres de gravité de la Lune, mais ..... (merci de bien lire l'énoncé).

Réponse au 3) :
Un majorant entier pour cette distance est 54 millions de km !?

[U46406]

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