Exos sympas MPSI
Re: Exos sympas MPSI
Soit f de R dans R continue et non constante.
Montrez qu'il existe a<b des réels tels que pour tout c dans ]a,b[, f(c) est différent de f(a) et de f(b).
Montrez qu'il existe a<b des réels tels que pour tout c dans ]a,b[, f(c) est différent de f(a) et de f(b).
Prince des chats 
2015-2016 : TS - Spé Maths : Découverte
2016-2017 : MPSI - Stanislas : Déception
2017-2018 : MP* - Stanislas : ...

2015-2016 : TS - Spé Maths : Découverte
2016-2017 : MPSI - Stanislas : Déception
2017-2018 : MP* - Stanislas : ...
Re: Exos sympas MPSI
Etudier la suite (cos^(n)(n)), où cos^(n) désigne cos rond cos... rond cos avec n composées.
Re: Exos sympas MPSI
Salut,
Réciproque du TAF
$ $Soit $f$ fonction réel, dérivable en tout point de $[0,1]$.
A-t-on $\forall t\in ]0,1[,\exists (x,y) \in ]0,1[^2 $ tel que $x<t<y$ et $f'(t)=\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}$ ?
Edit : Je me rends compte que c'est un grand classique alors je vous mets celui ci qui l'est beaucoup moins.
Le grand remplacement
$ $$ba\rightarrow a^2b$ (*)
$m=a^{p_1}ba^{p_2}b...ba^{p_{100}}$
Déterminer le nombre maximal d'utilisation du remplacement (*) dans le mot $m$.
$(p_n)_n$ la suite croissante de tous les entiers premiers, ainsi $p_1=2,p_2=3,p_3=5...$
Bonne recherche.
Réciproque du TAF
$ $Soit $f$ fonction réel, dérivable en tout point de $[0,1]$.
A-t-on $\forall t\in ]0,1[,\exists (x,y) \in ]0,1[^2 $ tel que $x<t<y$ et $f'(t)=\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}$ ?
Edit : Je me rends compte que c'est un grand classique alors je vous mets celui ci qui l'est beaucoup moins.
Le grand remplacement
$ $$ba\rightarrow a^2b$ (*)
$m=a^{p_1}ba^{p_2}b...ba^{p_{100}}$
Déterminer le nombre maximal d'utilisation du remplacement (*) dans le mot $m$.
$(p_n)_n$ la suite croissante de tous les entiers premiers, ainsi $p_1=2,p_2=3,p_3=5...$
Bonne recherche.
Re: Exos sympas MPSI
Bonjour,
Inequation fonctionnelle :
Determiner toutes les fonctions $f$ strictement croissante de $\mathbb N$ dans $\mathbb N$ tel que $$\forall n\in\mathbb N, f(f(2n))\leq 2f(n) $$
Une histoire de dominos :
On prend un rectangle de 9 cases de long (a,b,c,d,e,f,g,h et i) et 7 cases de large (1,2,3,4,5,6 et 7).
On retire les cases a1 et a7.
Est-il possible de choisir une case en plus à retirer tel que le rectangle retiré de ces 3 cases, se recouvre complétement de dominos rectangulaires de 3 cases de long et 1 case de large ?
Des pistes ici : https://www.youtube.com/watch?v=GiCfw6AL0cM
une équation fonctionnelle :
Determiner toutes les fonctions $f\in C(\mathbb R)$ avec : $f^2+f+id=0$
PS : $f^2=f\circ f$
Bonne recherche.
Inequation fonctionnelle :
Determiner toutes les fonctions $f$ strictement croissante de $\mathbb N$ dans $\mathbb N$ tel que $$\forall n\in\mathbb N, f(f(2n))\leq 2f(n) $$
Une histoire de dominos :
On prend un rectangle de 9 cases de long (a,b,c,d,e,f,g,h et i) et 7 cases de large (1,2,3,4,5,6 et 7).
On retire les cases a1 et a7.
Est-il possible de choisir une case en plus à retirer tel que le rectangle retiré de ces 3 cases, se recouvre complétement de dominos rectangulaires de 3 cases de long et 1 case de large ?
Des pistes ici : https://www.youtube.com/watch?v=GiCfw6AL0cM
une équation fonctionnelle :
Determiner toutes les fonctions $f\in C(\mathbb R)$ avec : $f^2+f+id=0$
PS : $f^2=f\circ f$
Bonne recherche.
Re: Exos sympas MPSI
Salut,
Un exo trés sympa qui combine info et maths...
$$A=\dfrac{229771050385458743725494168447621117946370262129550114135849283088268}{20677533368708852177381893735878486586471894361012772819558314093171229}$$
Montrer en utilisant un PC et le raisonnement que $A$ contient dans son developpement décimal, tous les chiffres sauf $9$.
Une histoire de division :
$ $
Soient $n \in \mathbb N^*,x >1$ avec $E(x\times 10^n) | E(x \times 10^{2n})$. A-t-on $E(x \times 10^n)\times 10^n=E(x \times 10^{2n})$ ?
Minimiser :
Determiner $\min\{|11^n-2^m| : (n,m)\in (\mathbb N^*)^2\}$.
Dominos coudés :
On dispose d'un domino coudé :

On a une grille carré G de 9 cases de côté.
Peut-on recouvrir complétement G avec des dominos coudés ?
une affaire irrationnelle :
A-t-on $\forall n \in\mathbb N^*, \sqrt n +\sqrt {n+1}$ irrationnel ?
Bonne recherche.
Un exo trés sympa qui combine info et maths...
$$A=\dfrac{229771050385458743725494168447621117946370262129550114135849283088268}{20677533368708852177381893735878486586471894361012772819558314093171229}$$
Montrer en utilisant un PC et le raisonnement que $A$ contient dans son developpement décimal, tous les chiffres sauf $9$.
Une histoire de division :
$ $
Soient $n \in \mathbb N^*,x >1$ avec $E(x\times 10^n) | E(x \times 10^{2n})$. A-t-on $E(x \times 10^n)\times 10^n=E(x \times 10^{2n})$ ?
Minimiser :
Determiner $\min\{|11^n-2^m| : (n,m)\in (\mathbb N^*)^2\}$.
Dominos coudés :
On dispose d'un domino coudé :

On a une grille carré G de 9 cases de côté.
Peut-on recouvrir complétement G avec des dominos coudés ?
une affaire irrationnelle :
A-t-on $\forall n \in\mathbb N^*, \sqrt n +\sqrt {n+1}$ irrationnel ?
Bonne recherche.
Re: Exos sympas MPSI
Salut,
Un peu d'algébre linéaire :
Soit $n \in \mathbb N,n>3$.
A) Soit $G$ un sous groupe fini, non trivial, de $GL_n(\mathbb R)$. A-t-on l'ensemble $G$ lié ?
B) Existe-t-il $H$ un sev de $M_n(\mathbb R)$, avec $\dim(H)\geq 2$ et $H-\{0\} \subset GL_n(\mathbb R)$ ?
Dominos 3*1 :
On a une grille rectangulaire de 8 cases de largeur (colonnes : a,b,c,d, e,f,g et h) et 9 cases de longueur (lignes : 1,2,3.. et 9).
On retire les 3 cases suivantes : a1, a9 et h1.
Peut-on recouvrir totalement la grille privée des 3 cases, avec des dominos 3*1.
Dominos en T :
Voici un domino en T :

Peut-on recouvrir complétement avec des dominos en T une grille carré de côté 6 cases ?
Des equations fonctionnelles :
$ $
Soient $n \in \mathbb N^*$, $\{a_0,...,a_n\} \subset \mathbb R_*^+$. On suppose $Eq : \sum\limits_{k=0}^n a_k f^k(x)=0$ n'a pas de solutions linéaires.
Déterminer l'ensemble des solutions de $Eq$ pour $f \in C^\infty (\mathbb R)$.
Bonne recherche.
Un peu d'algébre linéaire :
Soit $n \in \mathbb N,n>3$.
A) Soit $G$ un sous groupe fini, non trivial, de $GL_n(\mathbb R)$. A-t-on l'ensemble $G$ lié ?
B) Existe-t-il $H$ un sev de $M_n(\mathbb R)$, avec $\dim(H)\geq 2$ et $H-\{0\} \subset GL_n(\mathbb R)$ ?
Dominos 3*1 :
On a une grille rectangulaire de 8 cases de largeur (colonnes : a,b,c,d, e,f,g et h) et 9 cases de longueur (lignes : 1,2,3.. et 9).
On retire les 3 cases suivantes : a1, a9 et h1.
Peut-on recouvrir totalement la grille privée des 3 cases, avec des dominos 3*1.
Dominos en T :
Voici un domino en T :

Peut-on recouvrir complétement avec des dominos en T une grille carré de côté 6 cases ?
Des equations fonctionnelles :
$ $
Soient $n \in \mathbb N^*$, $\{a_0,...,a_n\} \subset \mathbb R_*^+$. On suppose $Eq : \sum\limits_{k=0}^n a_k f^k(x)=0$ n'a pas de solutions linéaires.
Déterminer l'ensemble des solutions de $Eq$ pour $f \in C^\infty (\mathbb R)$.
Bonne recherche.