Equation avec racine nième de l'unité

[chevalierfeodal]

Bonjour, j'étais en train de faire des exos sur les complexes lorsqu'un exo dont l'énoncé m'a paru simple m'a donné du fil à retordre, le voici :

Pour z dans C et téta dans R résoudre l'équation :

z^(2n) - 2cos(n*téta) * z^n +1 = 0

L'idée immédiate qui m'est venue est de poser Z=z^n pour obtenir un polynôme du second degré :

Z^2 - 2cos(n*téta) * Z + 1 = 0

En calculant le discriminant, on a 3 cas (puisque a,b et c sont réel) :
delta est égale à 0 ce qui implique que n*téta est congru à 0 modulo 2pi ou pi modulo 2pi et qu'on a donc Z=z^n=1 donc z = 2kpi/n avec k variant de 0 à n-1.
Pour delta > 0 : on voit que c'est pas possible donc il nous reste le cas delta < 0.
Et c'est à ce moment là que je bloque (si ce que j'ai fait jusque là n'est pas faux). En effet, la négativité de delta donnerai des condition trop complexe sur téta ce qui rendrai les calcules de Z1 et Z2 impossible.

Est-ce que je me suis trompé dans l'entièreté de mon raisonnement ou ai mal compris l'exercice et la manière de le résoudre (peut être en posant cos(n*téta) comme la partie réelle de e^(i*n*téta) mais je vois pas comment ça m'aiderais) ?
Pourriez vous m'éclairer sur la solution de celui-ci ?

Merci pour vos éventuelles réponses

[Raoul133]

Bonjour, je n'ai pas fait de maths depuis plus de 20 ans, mais il me semble que ton discriminant vaut -4sin^2(n*téta) ce qui donne pour racines cos(n*téta)+/- isin(n*téta) soit exp (+/-i n téta)

[chevalierfeodal]

Bonjour, merci pour votre réponse, je n'y ai pas pensé

[zygomatique]

salut

posons $ w = n \theta $

je reconnais le début d'une identité remarquable donc je fonce sur la forme canonique :

$ z^{2n} + 2z^n \cos w + 1 = [z^n + \cos w]^2 + \sin^2 w = [z^n + \cos w]^2 - [i \sin w]^2 = ... $