[Oral Math L 2023] Point d'accumulation et Uniforme continuité

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[Oral Math L 2023] Point d'accumulation et Uniforme continuité

Message par mathemartin » 15 juin 2024 10:18

Bonjour,

je vous écrits pour pouvoir avec vous avancer dans un exercice trouvé dans un rapport de jury de l'épreuve orale de mathématiques de l'ENS de Lyon en MP (Math L).

Il s'agit de l'exercice 1 à cette adresse sur le site concours ENS https://banques-ecoles.fr/cms/wp-conten ... oMathL.pdf.

Pour la question 1, l'hypothèse "continuité implique uniforme continuité" m'incite à montrer que l'application d est continue. Cela fonctionne bien par caractérisation séquentielle, en prenant (yn)n qui converge vers y dans E, et en distinguant les cas ou la suite (yn) est stationnaire (trivial) et lorsqu'elle ne l'est pas. Dans ce cas, on peut prendre les yn distincts, quitte à extraire, pour avoir que d(y) = 0 (c'est un point d'accumulation) et que d(yn) -> 0 en l'infini (on remarque que la présence de y dans le voisinage de yn assure que 0<=d(yn)<d(yn,y) -> 0 en l'infini et on conclut par encadrement).

Mais à partir de là ca se gâte, si on reprend la suite (xn)n introduite par l'énoncé, je n'ai pas d'intuition pour exploiter les hypothèses et le résultat précédent. Pire, le résultat me semble contre intuitif.

Merci pour vos retours.

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Re: [Oral Math L 2023] Point d'accumulation et Uniforme continuité

Message par Poux Belle » 19 juin 2024 16:38

Bonjour,

Déjà on peut commencer par remarquer que dans un espace vectoriel normé, il n'y a pas de point isolé. Pour que l'exercice ait un intérêt, on peut demander que $ E $ soit une partie d'un evn (les examinateurs avaient sûrement en tête le même énoncé avec un espace métrique général, qu'ils ont transformé en espace vectoriel normé pour rester dans le programme et n'ont pas fait attention...).

Pour la question 1, voici une piste de résolution (qui n'utilise pas la continuité de la fonction $ d $).
L'hypothèse $ d(x_n) \to 0 $ signifie qu'il existe une suite $ (y_n) $ de $ E $ telle que pour tout $ n $, $ x_n \neq y_n $ et $ \|x_n -y_n \| \to 0 $.
Supposons par l'absurde qu'aucune sous-suite de $ (x_n) $ ne converge. À partir de là, je te propose les étapes suivantes (je n'ai pas vérifié les détails).
  • Montrer qu'aucune sous-suite de $ (y_n) $ ne converge.
  • Montrer que, quitte à extraire, les ensembles $ \{x_n~|~n \in \mathbb{N} \} $ et $ \{y_n~|~n \in \mathbb{N}\} $ sont disjoints.
  • Montrer que $ \{x_n~|~n \in \mathbb{N} \} $ et $ \{y_n~|~n \in \mathbb{N}\} $ sont des fermés de $ E $.
  • Construire une fonction continue sur $ E $ qui vaille $ 0 $ sur les $ x_n $ et $ 1 $ sur les $ y_n $ (indication : considérer $ \frac{d\left(x, \{x_n~|~n \in \mathbb{N}\} \right)}{d\left(x, \{x_n~|~n \in \mathbb{N} \}\right) + d\left(x, \{y_n~|~n \in \mathbb{N}\} \right)} $). Peut-elle être uniformément continue ?

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