Auriez-vous des pistes ? Merci beaucoup !
Exercice académique Olympiades de Poitiers 2024.
Problème 1 : La fourmi se promène. (12 points)
On considère une fourmi qui se déplace sur un cube ABCDEFGH où AB = 1 m.
Au départ, elle se situe sur le sommet A, et elle souhaite rallier le sommet G.
Une fois parvenue au sommet G, elle s'arrête.
Toutes les longueurs considérées seront exprimées en m.
On suppose que la fourmi ne se déplace qu'en empruntant les arêtes du cube, d'un sommet à un autre.
Ses déplacements sont supposés aléatoires : au départ de chaque sommet, elle choisit parmi les trois arêtes issues de ce sommet (y compris celle qu'elle vient d'emprunter), de façon équiprobable et indépendamment du trajet déjà effectué.
En particulier elle peut repasser plusieurs fois par le même sommet avant d'atteindre le sommet G.
Par exemple, un itinéraire possible est ici ABFBCG, il est de longueur 5
1) Quelle est la probabilité que la fourmi emprunte précisément cet itinéraire ?
Ma réponse : (1/3)^5 = 1/243
2) On s'intéresse ici aux longueurs possibles pour un itinéraire (trajet ralliant A à G).
a) Existe-t-il des itinéraires de longueur 4 ?
Ma réponse : s'il existait des itinéraires de longueur 4 pour aller de A à G, il existerait des itinéraires de longueur 3 pour aller de A à H puis des itinéraires de longueur 2 pour aller de A à E et enfin des itinéraires de longueur 1 pour aller de A à A, ce qui est absurde.
b) Quelles sont les différentes longueurs possibles pour un itinéraire ?
Ma réponse : il s'agit de tous les entiers naturels impairs supérieurs ou égaux à 3.
3) Pour n entier non nul, on note P(n) la probabilité que la fourmi choisisse un itinéraire de longueur 2n+1 pour aller de A à G.
a) Donner la valeur de P(1)
Ma réponse : ayant construit un arbre de probabilité, je constate qu'il y a 6 chemins où la fourmi atteint le point G en 3m, sur 27 chemins au total soit une probabilité de 2/9ème.
b) Justifier que P(n+1) = 7/9 P(n) pour tout entier non nul n.
Donner alors une expression de P(n) en fonction de n.
c) Quelle est la probabilité pour la fourmi d'atteindre le sommet G en ayant parcouru moins de 20 mètres ?