Exos sympas MP(*)

[Thaalos]

En effet, erreur corrigée ! ^^
Le deuxième a un sens évident, l'autre est peut-être un peu plus dur.

[V@J]

Sinon, voici un exo un peu trash. Pas forcément intéressant, mais un peu dur.

On considère le groupe additif $ G = \mathbb{Z}^\mathbb{Z} $ des applications de $ \mathbb{Z} $ vers $ \mathbb{Z} $, ainsi qu'un sous-groupe H de G, défini par $ H = \{f : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \ | \ \exists K \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{Z}, |n| \geq K \Rightarrow f(n) = 0 \} $ : H est le sous-groupe des fonctions à support compact.
Soit maintenant $ \mathbb{A} $ un sous-anneau unitaire de $ \mathbb{Q} $ et deux entiers a et b premiers entre eux, tels que $ \mathbb{A} \cap \{a^{-1},b^{-1}\} = \emptyset $.
Montrer que le seul morphisme de groupes additifs $ \varphi : G \rightarrow \mathbb{A} $ tel que $ H \subset \ker \varphi $ est le morphisme nul.

colis : J'ai édité le message, il y avait une coquille...

[colis]

V@J: tu voulais peut-être dire "tel que $ \varphi_{|H}=0 $ ", non ???

[Thaalos]

Effectivement, l'énoncé fait peur.

[LB]

Ça m'a l'air très puissant !
En gros il suffit de priver le sous-anneau à l'arrivée des inverses de deux entiers premiers entre eux pour qu'un morphisme qui annule les fonctions à support compact, annule finalement tout.

Bon, par contre, j'ai pas envie d'y réfléchir et pour une fois vais sagement attendre que quelqu'un s'en charge. C'est les vacances après tout

[Watza]

L'anneau est supposé unitaire ?

[Thaalos]

Je crois que maintenant les anneaux sont par définition unitaires, contrairement à il y a quelques années.
S'il ne l'est pas, on parle de pseudo-anneau.

[LB]

"Quelques années", ça remonte quand même à Bourbaki . Mais il y a encore beaucoup de gens qui ne les prennent pas unitaires il me semble.

[Thaalos]

C'est dans les années 60 non ?

[-guigui-]

colis > Je n'ai réussi que la première question (en utilisant le déterminant de Vandermonde, j'étais content).

Autre exercice, que je trouve zoli :

Soit $ \displaystyle (\Gamma_n) $ le graphe de la fonction $ \displaystyle f_n : x \mapsto \cos^n(x) $. Soit $ \displaystyle d_n=d(O,\Gamma_n) $. Trouver un équivalent simple de $ \displaystyle d_n $.