Exos sympas MP(*)

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V@J

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par V@J » 18 avr. 2009 15:24

Soit $ A = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix} $ et $ P = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 2
\end{pmatrix} $. On remarque que $ P^{-1}AP = 2A \neq 0 $. Nulle norme N sur $ M_n(\mathbb{C}) $ ne peut donc vérifier :
$ \forall X, Y $ semblables, $ N(X) = N(Y) $.

(sinon on aurait $ N(A) = N(2A) = 2N(A) $, et donc $ N(A) = 0 $ alors que $ A \neq 0 $)
Sauf erreur de ma part...

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par V@J » 18 avr. 2009 15:26

Un dernier pour la route (celui-là, on me l'a posé en colle quand j'étais petit) :
Étudier la nature de $ \sum_{n = 0}^\infty{\sin(\pi \ e \ n!)} $

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Thaalos » 18 avr. 2009 15:30

V@J a écrit :
Pourquoi $ \sum_{n \in \Omega_{p_i}}{\frac{p_i}{n} = \sum_{n \in \Omega_p}{\frac{1}{pn}} $ ?
Déjà, il faudrait identifier $ p_i $ à $ p $, hein...
Ouep, l'identification je l'avais faire sans problème, mon souci ne venait pas de là. ^^
V@J a écrit :Mais après, on a simplement $ \sum_{n\in\Omega_p}\frac{1}{pn}} = \frac{1}{p^2}\sum_{n \in \Omega_{p}}{\frac{p}{n} $. L'expression de gauche est celle que l'on cherche à évaluer, celle de droite est celle que l'on peut facilement calculer.
En fait, j'ai trouvé une inégalité (j'avais édité mon post) qui me contentait amplement. ^^
Désolé, mais dans toutes ces lignes de calcul, je m'étais perdu... ^^
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Thaalos » 18 avr. 2009 15:41

-guigui- a écrit :Allez, juste encore " Nature de la série $ \displaystyle \sum_{n\ge0}\sin\left(\pi(2+\sqrt{3})^n\right) $ " et je vous laisse tranquille ^^
(indication : qui peut le plus peut le moins)
J'ai remplacé le + par un moins et étudié la série de terme général $ \displaystyle \sum_{n\ge0}\sin\left(\pi(2-\sqrt{3})^n\right) $, terme général positif, la série converge par DL + d'Alembert.
Mais je ne vois pas de lien entre $ \sin\left(\pi(2+\sqrt{3})^n\right) $ et $ \sin\left(\pi(2-\sqrt{3})^n\right) $ ça doit être tout bête pourtant... :s
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par colis » 18 avr. 2009 15:49

L'exercice classique sur la série de terme générale $ \frac{1}{nM(n)} $ où $ M(n) $ est le plus grand diviseur premier de $ n $, m'inspire ceci cet exercice facile.
de colis a écrit :Quelle est la nature de la série de terme générale $ \Big{(}m(n)M(n)\Big{)}^{-\frac{\Omega(n)}{2}} $ ( resp $ \displaystyle{\Big{(}\frac{m(n)+M(n)}{2}\Big{)}^{-2\Omega(n)}} $ ou $ \displaystyle{\Big{(}\frac{m(n)+M(n)}{2}\Big{)}^{-\Omega(n)}} $)


$ m(n) $ est le plus petit diviseur premier de n
$ M(n) $ est le plus grand diviseur premier de n
$ \Omega(n) $ est le nombre de diviseurs premiers de n comptés avec multiplicité, par exemple, $ \Omega(12)=3 $
Je n'ai pas choisi les coefficients par pure fantaisie ou au hasard. Je discuterai le pourquoi du comment après que quelqu'un aie posté une solution correcte (pour ne pas donner d'indication).

Edit: $ n\geq 2 $ bien entendu pour éviter tout problème !
Modifié en dernier par colis le 18 avr. 2009 19:22, modifié 2 fois.
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par V@J » 18 avr. 2009 16:04

J'ai trouvé ! Youpi...

Soit $ a_0 = 2, \ a_1 = 4 $ et, $ \forall n \in \mathbb{N}, \ a_{n+2} = 4 a_{n+1}-a_n $.
On montre facilement que, $ \forall n \in \mathbb{N}, \ (2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n = a_n \in 2 \mathbb{Z} $.
Donc $ \sin(\pi(2+\sqrt{3})^n) = \sin(\pi a_n - \pi (2-\sqrt{3})^n) = -\sin(\pi (2-\sqrt{3})^n) $.
Donc, par convergence de $ \sum_{n \geq 0}{\sin(\pi (2-\sqrt{3})^n)} $, on sait que $ \sum_{n \geq 0}{\sin(\pi (2+\sqrt{3})^n)} $ converge également.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Thaalos » 18 avr. 2009 16:12

V@J a écrit :On montre facilement que, $ \forall n \in \mathbb{N}, \ (2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n = a_n \in 2 \mathbb{Z} $.
C'est certainement vrai, mais j'aurais du mal à le montrer facilement. :(
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par gardener » 18 avr. 2009 16:14

Parfois la bourrinitude ça marche... On développe façon super bourrin et les termes impairs se compensent. ça tombe bien, les termes pairs sont entiers!
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par V@J » 18 avr. 2009 16:25

La suite $ a_n $ admet pour polynôme annulateur $ X^2-4X+1 = [X-(2+\sqrt{3})][X-(2-\sqrt{3})] $, donc le cours indique que $ \exists \alpha, \beta $ tels que $ \forall n \in \mathbb{N}, \ a_n = \alpha (2+\sqrt{3})^n + \beta (2-\sqrt{3})^n $. En observant attentivement $ a_0 $ et $ a_1 $, on identifie $ \alpha = \beta = 1 $. D'où mon affirmation...

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par gardener » 18 avr. 2009 16:40

Aaaah en gros j'ai dit un truc qui servait juste à rien. Bon je retourne me coucher.
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