Exos sympas MP(*)

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Thaalos » 18 avr. 2009 15:30

V@J a écrit :
Pourquoi $ \sum_{n \in \Omega_{p_i}}{\frac{p_i}{n} = \sum_{n \in \Omega_p}{\frac{1}{pn}} $ ?
Déjà, il faudrait identifier $ p_i $ à $ p $, hein...
Ouep, l'identification je l'avais faire sans problème, mon souci ne venait pas de là. ^^
V@J a écrit :Mais après, on a simplement $ \sum_{n\in\Omega_p}\frac{1}{pn}} = \frac{1}{p^2}\sum_{n \in \Omega_{p}}{\frac{p}{n} $. L'expression de gauche est celle que l'on cherche à évaluer, celle de droite est celle que l'on peut facilement calculer.
En fait, j'ai trouvé une inégalité (j'avais édité mon post) qui me contentait amplement. ^^
Désolé, mais dans toutes ces lignes de calcul, je m'étais perdu... ^^
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Thaalos » 18 avr. 2009 15:41

-guigui- a écrit :Allez, juste encore " Nature de la série $ \displaystyle \sum_{n\ge0}\sin\left(\pi(2+\sqrt{3})^n\right) $ " et je vous laisse tranquille ^^
(indication : qui peut le plus peut le moins)
J'ai remplacé le + par un moins et étudié la série de terme général $ \displaystyle \sum_{n\ge0}\sin\left(\pi(2-\sqrt{3})^n\right) $, terme général positif, la série converge par DL + d'Alembert.
Mais je ne vois pas de lien entre $ \sin\left(\pi(2+\sqrt{3})^n\right) $ et $ \sin\left(\pi(2-\sqrt{3})^n\right) $ ça doit être tout bête pourtant... :s
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par colis » 18 avr. 2009 15:49

L'exercice classique sur la série de terme générale $ \frac{1}{nM(n)} $ où $ M(n) $ est le plus grand diviseur premier de $ n $, m'inspire ceci cet exercice facile.
de colis a écrit :Quelle est la nature de la série de terme générale $ \Big{(}m(n)M(n)\Big{)}^{-\frac{\Omega(n)}{2}} $ ( resp $ \displaystyle{\Big{(}\frac{m(n)+M(n)}{2}\Big{)}^{-2\Omega(n)}} $ ou $ \displaystyle{\Big{(}\frac{m(n)+M(n)}{2}\Big{)}^{-\Omega(n)}} $)


$ m(n) $ est le plus petit diviseur premier de n
$ M(n) $ est le plus grand diviseur premier de n
$ \Omega(n) $ est le nombre de diviseurs premiers de n comptés avec multiplicité, par exemple, $ \Omega(12)=3 $
Je n'ai pas choisi les coefficients par pure fantaisie ou au hasard. Je discuterai le pourquoi du comment après que quelqu'un aie posté une solution correcte (pour ne pas donner d'indication).

Edit: $ n\geq 2 $ bien entendu pour éviter tout problème !
Dernière modification par colis le 18 avr. 2009 19:22, modifié 2 fois.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par V@J » 18 avr. 2009 16:04

J'ai trouvé ! Youpi...

Soit $ a_0 = 2, \ a_1 = 4 $ et, $ \forall n \in \mathbb{N}, \ a_{n+2} = 4 a_{n+1}-a_n $.
On montre facilement que, $ \forall n \in \mathbb{N}, \ (2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n = a_n \in 2 \mathbb{Z} $.
Donc $ \sin(\pi(2+\sqrt{3})^n) = \sin(\pi a_n - \pi (2-\sqrt{3})^n) = -\sin(\pi (2-\sqrt{3})^n) $.
Donc, par convergence de $ \sum_{n \geq 0}{\sin(\pi (2-\sqrt{3})^n)} $, on sait que $ \sum_{n \geq 0}{\sin(\pi (2+\sqrt{3})^n)} $ converge également.

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Thaalos » 18 avr. 2009 16:12

V@J a écrit :On montre facilement que, $ \forall n \in \mathbb{N}, \ (2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n = a_n \in 2 \mathbb{Z} $.
C'est certainement vrai, mais j'aurais du mal à le montrer facilement. :(
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par gardener » 18 avr. 2009 16:14

Parfois la bourrinitude ça marche... On développe façon super bourrin et les termes impairs se compensent. ça tombe bien, les termes pairs sont entiers!
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Re: Exos sympas MP(*)

Message par V@J » 18 avr. 2009 16:25

La suite $ a_n $ admet pour polynôme annulateur $ X^2-4X+1 = [X-(2+\sqrt{3})][X-(2-\sqrt{3})] $, donc le cours indique que $ \exists \alpha, \beta $ tels que $ \forall n \in \mathbb{N}, \ a_n = \alpha (2+\sqrt{3})^n + \beta (2-\sqrt{3})^n $. En observant attentivement $ a_0 $ et $ a_1 $, on identifie $ \alpha = \beta = 1 $. D'où mon affirmation...

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par gardener » 18 avr. 2009 16:40

Aaaah en gros j'ai dit un truc qui servait juste à rien. Bon je retourne me coucher.
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colis

Re: Exos sympas MP(*)

Message par colis » 18 avr. 2009 16:45

gardener a écrit :Aaaah en gros j'ai dit un truc qui servait juste à rien. Bon je retourne me coucher.
Tu as dit que le binôme de newton marche, ce qui est pareil et louable :).

Que pensez vous de mon exo ? :oops:

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Re: Exos sympas MP(*)

Message par Thaalos » 18 avr. 2009 17:09

gardener a écrit :Parfois la bourrinitude ça marche... On développe façon super bourrin et les termes impairs se compensent. ça tombe bien, les termes pairs sont entiers!
Mon prof me dit tout le temps que je vais trop vite, donc faut que je trouve un juste milieu en somme. :lol:

colis : ton exo est méchant et il me fait mal aux yeux. :(
Mais j'ai envie de dire qu'elles convergent.
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