Voici un exercice sur les groupe amenant à demontrer que le cardinal de tout sous groupe d'un groupe fini divise le cardinal du groupe.
Je suis en PCSI, et je m'échine à finir la dernière question
Soit G un groupe noté multiplicativement, et H un sous groupe de G.
On définit dans G la relation R par:
Qqsoit (x,y) € G² xRy x(y)^-1 € H
1) Montrer que R est une relation d'équivalence sur G
2) Quelle est la classe d'équivalence de e, neutre de G
3)Soit x un élément de G, et x sa classe d'équivalence pour la relation R.
Montrer que l'application x-> H, y|->x(y)^-1 est bijective
4)Dans cette question, on suppose G fini
a) Que peut on dire du cardinal de H par rapport à celui de G? Enoncer le resultat obtenu.
b)Montrer que si G a n éléments, alors Quelque soit x€G, x^n=e
c) Montrer que si n est premier, alors G est cyclique.
S'en suit deux applications sur l'ensemble des permutations sur un ensemble à 3 élémentes qui importe peu.
Mon problème est donc de montrer que G est cyclique, si quelqu'un à des idées ...
Etablir un sous groupe de G de cardinal n s'ecrivant sous la forme x^m?
[/tex]
Theoreme de Lagrange
réponse
La première question:
Montrons que R est une relation d'équivalence:
_$ x^{-1}x $=1€H donc xRx,R est réflexive.
_xRy$ x^{-1}y $€H$ {(x^{-1}y)}^{-1} $€H$ y^{-1}x $€HyRx,donc R est symétrique.
_(xRy et yRz)=>($ x^{-1} $y€H et $ y^{-1} $z€H)=>($ x^{-1}yy^{-1}z=x^{-1}z $€H)=>(xRz),R est =>transitive.
Donc R est bien une relation d'équivalence.
je crois que j'ai pas des fautes dans cette démonstration.
Montrons que R est une relation d'équivalence:
_$ x^{-1}x $=1€H donc xRx,R est réflexive.
_xRy$ x^{-1}y $€H$ {(x^{-1}y)}^{-1} $€H$ y^{-1}x $€HyRx,donc R est symétrique.
_(xRy et yRz)=>($ x^{-1} $y€H et $ y^{-1} $z€H)=>($ x^{-1}yy^{-1}z=x^{-1}z $€H)=>(xRz),R est =>transitive.
Donc R est bien une relation d'équivalence.
je crois que j'ai pas des fautes dans cette démonstration.