Bonjour, j'ai un petit probleme sur un exercice, j'ai fait toutes les questions et je ne parviens pas a conclure sur la derniere, c'est peut etre evident mais je ne parviens pas a utiliser ce qui a été fait avant :
on veut calculer :
$ C(x)=\Bigint_0^{+\infty} e^{-t}cos(xt)\frac{dt}{\sqrt{t}} $ et $ S(x)=\Bigint_0^{+\infty} e^{-t}sin(xt)\frac{dt}{\sqrt{t}} $
- J'ai etabli qu'elles verifiaient le systeme :
$ 2(1+x^2)C'(x)+xC(x)=-S(x) $
$ 2(1+x^2)S'(x)+xS(x)=C(x) $
- J'ai trouvé la valeur de C(0) qui vaut je crois $ \sqrt{\pi} $
- J'ai montré que pour toute fonctions $ \alpha(x) $ et $ \beta(x) $ verifiant :
$ 2(1+x^2)\alpha'(x)=-\beta(x) $
$ 2(1+x^2)\beta'(x)=\alpha(x) $ avec $ \alpha(0)=\sqrt{\pi} $ et $ \beta(0)=0 $
alors $ \alpha(x)^2+\beta(x)^2=\pi $ et j'ai fini par determiner $ \alpha $ et $ \beta $...
On me demande alors de trouver C et S mais la je bloque car je ne vois pas comment adapter la methode, le systeme differentiel est bien plus compliqué, malgré les memes conditions en 0...
Si quelqu'un voit comment faire, je voudrais juste l'idée de depart, pas la reponse svp comme ca je pourrai terminer...
Merci a tous
pblm pour conclure
Une idée me vient
$ 2(1+x^{2})C^{\prime }(x)+xC(x)=-S(x) \Leftrightarrow 2(1+x^{2})\left( C^{\prime }(x)+\frac{x}{2(1+x^{2})} C\right) =-S \Leftrightarrow 2(1+x^{2})\left( C\exp \left( \frac{1}{4}\ln \left(
1+x^{2}\right) \right) \right) ^{\prime }=-S\exp \left( \frac{1}{4}\ln
\left( 1+x^{2}\right) \right) $
Tu poses alors
$ \alpha (x)=C(x)\exp \left( \frac{1}{4}\ln \left(
1+x^{2}\right) \right) \quad \text{et} \quad \beta (x)=S(x)\exp \left( \frac{1}{4}\ln
\left( 1+x^{2}\right) \right) $
Comme quoi, il vaut mieux réfléchir le matin que le soir !
$ 2(1+x^{2})C^{\prime }(x)+xC(x)=-S(x) \Leftrightarrow 2(1+x^{2})\left( C^{\prime }(x)+\frac{x}{2(1+x^{2})} C\right) =-S \Leftrightarrow 2(1+x^{2})\left( C\exp \left( \frac{1}{4}\ln \left(
1+x^{2}\right) \right) \right) ^{\prime }=-S\exp \left( \frac{1}{4}\ln
\left( 1+x^{2}\right) \right) $
Tu poses alors
$ \alpha (x)=C(x)\exp \left( \frac{1}{4}\ln \left(
1+x^{2}\right) \right) \quad \text{et} \quad \beta (x)=S(x)\exp \left( \frac{1}{4}\ln
\left( 1+x^{2}\right) \right) $
Comme quoi, il vaut mieux réfléchir le matin que le soir !