Algèbre linéaire + Euclidiens

[Earth]

Bonsoir,

2 questions:

1) Si E (espace vectoriel) est de dimension finie, alors tout sous-espace vectoriel de E admet au moins un suplémentaire. Ce résultat reste-t-il vrai si E n'est pas de dimension fini ??? Et si c'est le cas, le sous espace vectoriel admettant un éventuel suplementaire doit il être de dimension fini ??

2) Un espace vectoriel peut il être tjs muni d'un produit scalaire ?? Comment le démontrer ??

Merci et bonne soirée
E.

[jojo]

1) Si E (espace vectoriel) est de dimension finie, alors tout sous-espace vectoriel de E admet au moins un suplémentaire. Ce résultat reste-t-il vrai si E n'est pas de dimension fini ???

Bonjour,
non ce n'est pas toujours vrai.

Et si c'est le cas, le sous espace vectoriel admettant un éventuel suplementaire doit il être de dimension fini ??

Non ce n'est pas nécessaire (on dit que la dimension d'un supplémentaire est bien déterminée et on parle de codimension de l'espace).
Si un espace est de codimension finie, alors il admet toujours un supplémentaire.

2) Un espace vectoriel peut il être tjs muni d'un produit scalaire ?? Comment le démontrer ??

Oui, c'est une conséquence du lemme de Zorn si tu considères que ton espace est réel ou complexe.

[abcd22]

1) Si E (espace vectoriel) est de dimension finie, alors tout sous-espace vectoriel de E admet au moins un suplémentaire. Ce résultat reste-t-il vrai si E n'est pas de dimension fini ???

Bonjour,
non ce n'est pas toujours vrai.

Si, ça utilise le lemme de Zorn.

[Earth]

Finalement en dimension infinie je fais quoi ???

[jojo]

Si, ça utilise le lemme de Zorn.

Ca dépend de ce que tu entends par supplémentaire.
Un "vrai bon" supplémentaire est un supplémentaire topologique, et dans ce cas c'est faux.

[Mû]

Tout sous-espace admet des supplémentaires, tout espace vectoriel admet des bases, le théorème de la base incomplète est vrai, sans hypothèse de finitude de la dimension (ça utlise l'axiome du choix).
Tout espace peut-être muni d'un produit scalaire, et même plus fort: toute base d'un espace est orthonormée pour un certain produit scalaire, et il n'y a pas besoin de lemme de Zorn là-dedans: on définit le produit scalaire idoine à partir des coordonnées dans cette base.

[jojo]

Tout espace peut-être muni d'un produit scalaire, et même plus fort: toute base d'un espace est orthonormée pour un certain produit scalaire, et il n'y a pas besoin de lemme de Zorn là-dedans: on définit le produit scalaire idoine à partir des coordonnées dans cette base.

Oui tu as besoin de l'axiome du choix a un moment donné, au moins pour ta deuxieme affirmation.
Pour la premiere tu en as besoin, parce que tu te sers implicitement du fait que tout ev possede une base, et que tu construis ton produit scalaire a partir de cette base.

Pour ce qui est de la premiere question, j'avoue avoir mal interprété la question et raisonnait en terme de supplémentaire topologique.

[Mû]

En effet, je me suis aussi un peu mélangé.