linalg difficile (mp*)
linalg difficile (mp*)
Pour ceux qui aiment les defis , voici un exercice d'algebre lineaire qui , en dimension finie est facile , mais tout change endimension infinie .
montrez que pour tout x de E prive de 0 , avec E un espace vecoriel de dimension qlqce , il existe une forme lineaire f sur E tel que f(x) est non nulle . il faudra ajouter qu'on ne doit pas utiliser l'existence d'une base en dimensin infinie !!
montrez que pour tout x de E prive de 0 , avec E un espace vecoriel de dimension qlqce , il existe une forme lineaire f sur E tel que f(x) est non nulle . il faudra ajouter qu'on ne doit pas utiliser l'existence d'une base en dimensin infinie !!
Re: linalg difficile (mp*)
"il faudra ajouter qu'on ne doit pas utiliser l'existence d'une base en dimensin infinie !!"
je suppose que de ce fait on ne peut pas utiliser le fait que toute droite vectorielle admet un supplémentaire ?
je suppose que de ce fait on ne peut pas utiliser le fait que toute droite vectorielle admet un supplémentaire ?
Re: linalg difficile (mp*)
malheureusement oui , a moins de trouver un moyen de le demontrer sans le lemme de zorn et donc sans l'axiome du choix
faut avouer que notre prof a ete tres mechant sur ce coup la !!
faut avouer que notre prof a ete tres mechant sur ce coup la !!
Re: linalg difficile (mp*)
Mais toutes ces propositions ne sont-elles pas équivalentes?
Parce que (et c'était peut-être l'idée de Madec), la projection vectorielle sur $ \mathrm{Vect}(x) $ pour $ x\in E \setminus \{\vec{0}\} $ est une forme linéaire telle que $ f(x)\neq \vec{0} $. Cette projection vectorielle n'étant définie que si on peut montrer que $ E=\mathrm{Vect}(x) \oplus G $, c'est-à-dire que $ \mathrm{Vect}(x) $ possède un supplémentaire dans $ E $ de dimension non nécessairement finie...
Parce que (et c'était peut-être l'idée de Madec), la projection vectorielle sur $ \mathrm{Vect}(x) $ pour $ x\in E \setminus \{\vec{0}\} $ est une forme linéaire telle que $ f(x)\neq \vec{0} $. Cette projection vectorielle n'étant définie que si on peut montrer que $ E=\mathrm{Vect}(x) \oplus G $, c'est-à-dire que $ \mathrm{Vect}(x) $ possède un supplémentaire dans $ E $ de dimension non nécessairement finie...
Re: linalg difficile (mp*)
oui mais il faudrais d'abord prouver qu'il existe G tel que E=vect(x)+G et ceci sans passer par le fait que E admet une base
Re: linalg difficile (mp*)
on considère R comme espace vectoriel sur Q......
et le nombre PI.....
comment définissez vous la forme linéaire qui n'est pas nulle sur PI?
et le nombre PI.....
comment définissez vous la forme linéaire qui n'est pas nulle sur PI?
Re: linalg difficile (mp*)
je n'ai pas reussi a l'expliciter ,mais je sais qu'elle existe puisque R est somme directe de Q.PI et d'un hyperplan , on peut voir une forme lineaire qui n'anulle pas PI
Mais ou voulez-vous en venir ?
Mais ou voulez-vous en venir ?
Re: linalg difficile (mp*)
On sait qu'elle existe, mais on ne peut pas l'expliciter, cela me donne l'impression que ça dépend de l'axiome du choix........ringo a écrit :je n'ai pas reussi a l'expliciter ,mais je sais qu'elle existe puisque R est somme directe de Q.PI et d'un hyperplan , on peut voir une forme lineaire qui n'anulle pas PI
Mais ou voulez-vous en venir ?
donc qu'il faut passer par le théorème de la base incomplète......
Re: linalg difficile (mp*)
ne me dites pas que votre prof vous a pose le meme exo ?!!Madec a écrit :Help pour cet exo !
John
si c'est le cas , ca depasse les capacites du pauvre 5/2 que je suis !! je ne sais vrmt pas a koi pensait notre prof quand il nous a pose l'exo !!esta-fette a écrit :On sait qu'elle existe, mais on ne peut pas l'expliciter, cela me donne l'impression que ça dépend de l'axiome du choix........ringo a écrit :je n'ai pas reussi a l'expliciter ,mais je sais qu'elle existe puisque R est somme directe de Q.PI et d'un hyperplan , on peut voir une forme lineaire qui n'anulle pas PI
Mais ou voulez-vous en venir ?
donc qu'il faut passer par le théorème de la base incomplète......