Meca -> application d'un theoreme

[hedi]

Bonjour,

cette annee on a vu que l'on peut determiner la vitesse ou l'acceleration (ou les veteurs..) a un instant t il faut faire en gros, "l'instant d'apres moins l'instant d'avant", j'appele ca le theorement de "l'instant d'apres/instant d'avant" ^^

Ma question c'est, ca, on peut l'appliquer dans le cas d'un chute libre par ex, dans laquelle le mouvement est uniformément varié

Est ce juste?

[Perdouille]

ça veut dire quoi ça? tu peux me réexpliquer ce que tu entends par là?

La vitesse est la dérivée de la position ("la vitesse instantanée").
L'accéleration la dérivée de la vitesse (idem).

et pas juste 'instant après - instant avant'

Ces formules sont valables tout le temps

A quel niveau te situes tu? MPSI?

edit: ah non TS. ok.

[hedi]

oui desolé,

par exemple la vitesse, v(t)=lim d(distance)/dt qd t->0, et v(moyenne)=d/t.

En terminale, on a appliqué v(t)=d/t, la vitesse instantanée a un intant t, c'est la distance entre les instant t-1 et t+1 sur dt. Or ca c'est la vitesse moyenne sur l'intervalle.. c'est aussi la vitesse a l'instant t.

C'est parce que on est dans le cas d'un mouvement uniformement varié? ex: chute libre

merci de ton aide

[fakbill]

Du tout.

Soit M(t) la position en fonction du temps.
La vitesse est fonction du temps, c'est dM(t)/dt cad la fonction dérivée de M(t).
La vitesse instantannée au temps t0 c'est, *par définition*, la valeur de la fonction dM(t)/dt pour t=t0.
C'est tout.


Ca n'a pas de sens de dire que la vitesse instantannée est une vitesse moyenne sur un intervale de temps dt.
Pourquoi? Tout simplement car la fonction vitesse est la dérivée de la fonction position...donc la vitesse instantannée, c'est la valeur obtenue quand on fait tendre dt vers 0....or la moyenne d'une fonction sur un inter dont la longueur tent vers 0....ben ce n'est pas défini.

[hedi]

... je voulais dire que on peut assimiler la vitesse instantanée a un vitesse moyenne sur un temps tres court.

Si on peut alors l'assimiler a une vitesse moyenne sur un temps plus long (avec la v(t) pour t=t(final)-t(ini)), c'est pourquoi? parce que le mouvement est uniformement varié ?

merci quand meme fakbill

[Pato]

J'ai l'impression que vous travaillez sur des intervalles de temps infinitésimaux Donc, pour avoir le résultat final, il faut tout intégrer (ou sommer, c'est pareil )

La vitesse à un instant t+dt c'est

SPOILER:

grosso modo

: la vitesse à l'instant t + accélération à l'instant t multiplié par dt
Pratique quand on travaille avec un seul point, en sachant que l'accélération, c'est la force divisée par la masse
De même pour la position... enfin, perso, c'est comme ça que je résouds mes problèmes de mécanique (or de question d'intégrer analytiquement !!)
On est donc plus dans le cas continu.

En gros, tu résous le problème (qu'on peut souvent résoudre analytiquement par Newton - ce que vous faites en terminale d'ailleurs) par un "simili"-euler (en chute libre aussi, pourquoi pas). Tu calcules pour t, t+dt, t+2*dt..... et tu obtiens une belle courbe

Effectivement, c'est une approximation (il faudrait prendre dt presque égal à 0 pour avoir un résultat très approché) - il y a donc une erreur. Est-elle acceptable ? Ben.... à vérifier perso, pour une simulation de 10 secondes, je prends un dt de 0.01 seconde (en première approche).

Enfin.... cela répond-il au problème - ou je suis à côté de la plaque ?

SPOILER:

désolé, je n'ai pas été rigoureux sur cette explication là. Donc, je suis conscient que si on veut être perfectioniste, j'ai des bêtises mais bon...

[hedi]

C'est super pato, merci, ca m'a fait reviser un peu ^^

Mais ma question est toute simple:

On peut assimiler la vitesse instantanée a un vitesse moyenne sur un temps tres court.

Si on veut alors assimiler une vitesse instantanée à un instant T1 à une vitesse moyenne sur un temps plus long (T2-T0, avec T1=T2-T0), on peut le faire avec precision dans quels cas??

===>>> Est ce que ca ne serait pas dans le cas où le mouvement uniformement variée (acceleration cte), dans l'intervalle de temps ???
on pourrait alors faire: v1=G0G2/T2-T0 ?

Effectivement, c'est une approximation (il faudrait prendre dt presque égal à 0 pour avoir un résultat très approché) - il y a donc une erreur. Est-elle acceptable ? Ben.... à vérifier perso, pour une simulation de 10 secondes, je prends un dt de 0.01 seconde (en première approche).

ce que tu dis la Pato se rapproche de ma question

[Pato]

ben... à la base, je ne sais pas à quoi ressemblera mon mouvement... j'ai une equa diff assez monstrueuse à résoudre J'applique donc ça dans n'importe quel cas.
Et, je ne considère pas que c'est une moyenne - puisque je ne veux même pas savoir à quoi ressemble la vitesse entre t et t+dt Mais bon, si ça te plait, tu peux toujours dire que la vitesse moyenne est v(t).... ou pourquoi pas la moyenne, effectivement. mais comme je l'ai dit, perso, cette information ne m'intéresse pas

Après, pour le choix du dt (le moment à partir duquel la vitesse instantannée est suffisament proche de la vitesse moyenne locale)... Si la vitesse change vite, il faut prendre un dt petit. Si la vitesse évolue peu, un dt plus grand ferait l'affaire. Perso, je sais à peu près quelle est la vitesse de variation de mon système, je choisis donc mon dt en fonction. Généralement, l'ordre de grandeur de temps des phénomènes mécaniques, c'est la seconde en élec c'est le millième de seconde (voire moins), en magnétisme la dizaine de seconde (je crois). Donc, mon dt, je le prends au moins 10 fois plus petit que la seconde pas très scientifique, mais dans mon cas, ça marche assez bien.

Mais bon... c'est du Euler - il y a donc une erreur à la fin - qui dépend de dt (de second ordre - tu verras ça l'an prochain ).
Un truc intéressant : intégre l'équation :
masse * accéleration = poids (chute libre sans frottements )
Tu résouds ça analytiquement (tu auras une parabole), puis avec Euler avec des dt de plus en plus petit - et compare les 2 ça te donnera un aperçu. Mais en pratique, tu n'a aucune idée de la réponse analytique donc.... on fait confiance à Euler, on reste critique sur ses résultats, on simplifie pour vérifier l'ordre de grandeur - et finalement, on fait l'expérience pour vérifier que ça "coïncide bien"

Il y a des méthodes plus précises qu'euler - je le signale au passage Adams-Bashforth ou Runge-Kutta 4 par exemple

Euh... voilà, ça répond mieux ?
Encore une fois : je fais preuve d'un manque de rigueur extrême ! Mon explication, c'est juste pour comprendre un peu le truc.

[hedi]

ok merci

[fakbill]

Pour en remettre une couche:

On peut assimiler la vitesse instantanée a un vitesse moyenne sur un temps tres court.

Non....enfin on peut si on veut mais non.
Pourquoi? Parce qu'étudier les *varaitions* de la vitesse sur un intervale de temps dt ça n'a pas de sens.
Ca n'a donc pas de sens de prendre la moyenne.
Ca n'a pas de sens car si on voulait étudier les variations sur un dt, on aurait du dt² (merci aux matheux de ne pas me tuer) et du dt² ce n'est pas une vitesse.

Dans la définition d'une dérivée, tu peux considérer h ou h/42 si ça te plais. De toute façon c'est la limite quand h tend vers 0 donc ça ne change rien.

La vitesse instantanée n'est PAS une vitesse moyenne sur un temps tres court.
On peut le voir comme ça physiquement mais on arrive vite à des paradoxes. Tu le vois quand tu me parles de "la moyenne de la vitesse sur un dt", ce qui n'a pas de sens.
La vitesse instantanée c'est une limite.

Si la vitesse est constante (mouvement uniforme) sur un inter de temps fini (et pas seulement sur un dt, ce qui n'a pas de sens), il est bien évident qu'en tout point la vitesse instantanée et la vitesse moyenne c'est la même chose.

Ne pas tenter de découper un infiniment petit d'ordre 1 en pensant qu'on reste à l'ordre 1...c'est faux...on est alors à l'ordre 2 (attention, je ne parle pas des gens qui posent des espilon/3 juste pour que ça fasse espilon à la fin de la démo...on s'en fiche...du moment que ca fait "un truc constant fini" * espilon).