Partie dense dans R
Partie dense dans R
Bonjour à tous,
j'ai un petit doute sur une démonstration, je dois montrer que :
soit A £ R vérifiant :
quelque soit x de R il existe a et b de A tels que : a < x < b
quelque soit a et b de A : (a+b)/2 £ A
Montrer que A est dense dans R
J'ai eu comme première idée d'étudier a+b/2 >x et <x mais comment conclure sur la densité, j'ai du mal.
Merci si vous pouvez m'aiguiller,
bonne journée
j'ai un petit doute sur une démonstration, je dois montrer que :
soit A £ R vérifiant :
quelque soit x de R il existe a et b de A tels que : a < x < b
quelque soit a et b de A : (a+b)/2 £ A
Montrer que A est dense dans R
J'ai eu comme première idée d'étudier a+b/2 >x et <x mais comment conclure sur la densité, j'ai du mal.
Merci si vous pouvez m'aiguiller,
bonne journée
Re: Partie dense dans R
Salut,
L'idée est bien là : suppose par exemple que $ \frac{a+b}{2} < x < b $, et pose $ a' = \frac{a+b}{2} $ et $ b' = b $. En répétant le même raisonnement avec a' et b' au lieu de a et b, tu obtiens un nouveau point $ \frac{a'+b'}{2} $, qui est plus près de x que a' ou b' ... tu vois comment conclure ?Polo47 a écrit :J'ai eu comme première idée d'étudier a+b/2 >x et <x mais comment conclure sur la densité, j'ai du mal.
Re: Partie dense dans R
J'ai donc b < a+b/2 < x
et a > a'+b'/2 > x
Par suite j'ai un encadrement de x :
a+b/2 < x < a'+b'/2
et donc A est dense dans R, c'est ça ?
(j'ai peur de m'être embrouillé dans les notations)
et a > a'+b'/2 > x
Par suite j'ai un encadrement de x :
a+b/2 < x < a'+b'/2
et donc A est dense dans R, c'est ça ?
(j'ai peur de m'être embrouillé dans les notations)
Re: Partie dense dans R
Tes hypothèses sont ni plus ni moins que : on peut encadrer tout réel par deux éléments de A, et quand on effectue une dichotomie entre ces éléments, on reste dans A.
À partir de là, si tu sais ce qu'est une méthode de dichotomie, tu dois trouver directement une suite qui va converger vers le réel de départ.
À partir de là, si tu sais ce qu'est une méthode de dichotomie, tu dois trouver directement une suite qui va converger vers le réel de départ.
On peut dire que les fonctions convexes en dimension infinie et les fonctions continues en dimension finie sont d’une complexité similaire - Gilles Godefroy
http://perso.eleves.bretagne.ens-cachan.fr/~ldiet783/
http://perso.eleves.bretagne.ens-cachan.fr/~ldiet783/
Re: Partie dense dans R
La dichotomie ne me dit strictement rien... Cet exercice est dans le chapitre des nombres réels, nous avons à peine commencé les suites