Doute sur une équivalence

[Gudule]

Le sens $ \Rightarrow $ est faux

Huh ? Parler de la dérivée n'a logiquement pas de sens si on a pas supposé f dérivable ? Sinon je vois pas en quoi c'est faux.

[fakbill]

TIens au fait c'est quoi le théorème qui lie logiquement le signe de la dérivée et la stricte croissance en prépa (s'il y en a un)...
Ca ne risque pas de parler de "mesure nulle" donc ça s'énonce comment au niveau prépa?

[Deviling]

Le sens $ \Rightarrow $ est faux

Huh ? Parler de la dérivée n'a logiquement pas de sens si on a pas supposé f dérivable ? Sinon je vois pas en quoi c'est faux.

C'est justement pour cela. La véritable propriété est :
f dérivable et strictement croissante sur I <=> f dérivable sur I et il existe un ensemble dénombrable D, tel que pour tout x dans I\D, f'(x) > 0

Mais c'est vrai que je ne l'ai jamais vu comme théorème dans mon cours. Pourtant c'est niveau prépa et parfois même on l'utilise !

[Ragoudvo]

Il n'y a pas de théorème sur la stricte croissance au niveau prépa je pense.

[Philippe PATTE]

Il n'y a pas de théorème sur la stricte croissance au niveau prépa je pense.

Si si. Voir le programme de MPSI. Caractérisation des fonctions constantes, monotones, strictement monotones parmi les fonctions dérivables sur un intervalle. L'énoncé de Deviling n'est pas plus correct que les précédents. Pourtant, ce n'est pas si difficile d'en donner un énoncé. Une fonction strictement croissante sur un intervalle, c'est une fonction croissante ne présentant aucun "palier" ...

[MFred]

Dans mon cours de sup, j'avais (si mes souvenirs sont bons) :
f (dérivable) est strictement croissante si, et seulement si, f' est positive et ne s'annule sur aucun intervalle non réduit à un point.

Tout à fait compréhensible niveau prépa, donc.

[sotwafits]

Dans mon cours de sup, j'avais (si mes souvenirs sont bons) :
f (dérivable) est strictement croissante si, et seulement si, f' est positive et ne s'annule sur aucun intervalle non réduit à un point.

Tout à fait compréhensible niveau prépa, donc.

Voilà, cet énoncé est correct.

Pour revenir aux énoncés (faux) donnés avant : il est possible de construire une fonction dérivable strictement croissante, dont la dérivée s'annule sur un ensemble non dénombrable, et même de mesure non nulle (mais ça c'est hors-programme de prépa)

[Deviling]

Dans mon cours de sup, j'avais (si mes souvenirs sont bons) :
f (dérivable) est strictement croissante si, et seulement si, f' est positive et ne s'annule sur aucun intervalle non réduit à un point.

Tout à fait compréhensible niveau prépa, donc.

Voilà, cet énoncé est correct.

Pour revenir aux énoncés (faux) donnés avant : il est possible de construire une fonction dérivable strictement croissante, dont la dérivée s'annule sur un ensemble non dénombrable, et même de mesure non nulle (mais ça c'est hors-programme de prépa)

J'aimerai bien un exemple !
En gros, le principe, c'est que la dérivée s'annule sur un ensemble non dénombrable mais non continu, comme les irrationnels ?
Mais par contre pour la mesure (je n'ai pas encore étudié) mais j'avais cru comprendre qu'être de mesure non nulle signifiait avoir du "continu", un intervalle.
Peux-être faut-il que j'arrête de vivre dans un monde où l'on est soit discret, soit continu...

[Grisha]

Si ça t'interesse, je te file un papier dessus: http://www.daniel-saada.eu/fichiers/09- ... santes.pdf.
Bon, il est assez chiant quand même et bien hors programme!

[bogoss91]

J'aimerai bien un exemple !
En gros, le principe, c'est que la dérivée s'annule sur un ensemble non dénombrable mais non continu, comme les irrationnels ?
Mais par contre pour la mesure (je n'ai pas encore étudié) mais j'avais cru comprendre qu'être de mesure non nulle signifiait avoir du "continu", un intervalle.
Peux-être faut-il que j'arrête de vivre dans un monde où l'on est soit discret, soit continu...

Il existe des ensemble de mesure nulle mais non dénombrables, comme l'ensemble de Cantor si je me souviens bien.
Indénombrable ne signifie pas continu : pense à R\Q.