Partie dense dans R

[Polo47]

Bonjour à tous,
j'ai un petit doute sur une démonstration, je dois montrer que :
soit A £ R vérifiant :
quelque soit x de R il existe a et b de A tels que : a < x < b
quelque soit a et b de A : (a+b)/2 £ A

Montrer que A est dense dans R

J'ai eu comme première idée d'étudier a+b/2 >x et <x mais comment conclure sur la densité, j'ai du mal.
Merci si vous pouvez m'aiguiller,
bonne journée

[MFred]

Salut,

J'ai eu comme première idée d'étudier a+b/2 >x et <x mais comment conclure sur la densité, j'ai du mal.

L'idée est bien là : suppose par exemple que $ \frac{a+b}{2} < x < b $, et pose $ a' = \frac{a+b}{2} $ et $ b' = b $. En répétant le même raisonnement avec a' et b' au lieu de a et b, tu obtiens un nouveau point $ \frac{a'+b'}{2} $, qui est plus près de x que a' ou b' ... tu vois comment conclure ?

[Polo47]

J'ai donc b < a+b/2 < x
et a > a'+b'/2 > x
Par suite j'ai un encadrement de x :

a+b/2 < x < a'+b'/2

et donc A est dense dans R, c'est ça ?
(j'ai peur de m'être embrouillé dans les notations)

[LB]

Tes hypothèses sont ni plus ni moins que : on peut encadrer tout réel par deux éléments de A, et quand on effectue une dichotomie entre ces éléments, on reste dans A.

À partir de là, si tu sais ce qu'est une méthode de dichotomie, tu dois trouver directement une suite qui va converger vers le réel de départ.

[Polo47]

La dichotomie ne me dit strictement rien... Cet exercice est dans le chapitre des nombres réels, nous avons à peine commencé les suites

[maniaco]

Hé oui, pas facile les DL de Rémy =D

[Polo47]

Non! Mais j'ai réussi je pense, c'est qui ?

[maniaco]

Ba explique pour la densité alors s'il te plait