Bonjour.
J'aimerais avoir confirmation sur deux résultats concernant les polynômes de R[X] et la parité :
Soit P un élément de R[X].
* Si P est pair (resp. impair) sur un intervalle I centré en 0 non réduit à {0}, alors il est pair (resp. impair) sur R, donc pair (resp. impair) tout court ?
Pour le démontrer, j'ai écrit que : quelque soit x élément de I, P(-x) = P(x) (resp. P(-x) = -P(x)) donc comme I est infini, le polynôme P(-X) - P(X) (resp. P(-X)+P(X))
possède alors une infinité de racines et c'est donc le polynôme nul d'où : quelque soit x appartenant à R, P(-x)=P(x) (resp. P(-x)=-P(x)) : donc on a le résultat.
Le raisonnement précédent est-il correct ?
*Il y a équivalence entre :
(i) P pair (resp. impair)
(ii) tous les monômes de P sont pairs (resp. impair)
(ii) ->(i) est immédiat
Mais pour (i)->(ii) j'ai trouvé un raisonnement qui ne me satisfait pas : supposons P pair. S'il existait au moins un monôme de degré impair, P ne pourrait pas être pair, donc il n'existe aucun monôme de degré impair : tous les monômes sont de degré pair.
Qu'en pensez-vous ?
Rq : également, jusquà quel point peut-on confondre un polynôme et sa fonction polynomiale associée lorsqu'on travaille avec K=R (donc sur R[X]) ?
Polynômes et parité
Re: Polynômes et parité
Salut,
Le premier raisonnement est bon.
Pour le second :
Le premier raisonnement est bon.
Pour le second :
Le passage que j'ai mis en gras est précisément ce que tu veux montrer, ton raisonnement se mord un peu la queue. Pour montrer (i) => (ii), on peut montrer (comme tu l'as deviné) (non ii) => (non i), c'est-a-dire que tu supposes que P comporte un monôme impair, et tu dois aboutir a une contradiction avec la parité de P.sim' a écrit :Mais pour (i)->(ii) j'ai trouvé un raisonnement qui ne me satisfait pas : supposons P pair. S'il existait au moins un monôme de degré impair, P ne pourrait pas être pair, donc il n'existe aucun monôme de degré impair : tous les monômes sont de degré pair.
Re: Polynômes et parité
Oui j'ai essayé de montrer que s'il existe au moins un monôme de degré impair, P ne peut pas être pair mais je ne trouve pas la contradiction, le résultat me paraît tellement évident...
Re: Polynômes et parité
Le résultat est en effet assez facile a démontrer : si tu veux raisonner directement pour montrer (i) => (ii) dans le cas ou P est pair, tu peux par exemple écrire $ P(X) = P(-X) $, et en identifiant les coefficients de ces deux polynomes égaux, tu montres que tous les coefficients des monômes impairs sont nuls.
Re: Polynômes et parité
On pose $ n = deg(P) $
$ P = \sum_{k=0}^{n} \lambda_k X^k $
On a $ \sum_{k=0}^{E(\frac{n-1}{2})} 2\lambda_{2k+1} X^{2k+1} = 0 $ (car $ P(X) = P(-X) $)
D'où $ \forall k \in [0, E(\frac{n-1}{2})] $ $ \lambda_{2k+1} = 0 $
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$ P = \sum_{k=0}^{n} \lambda_k X^k $
On a $ \sum_{k=0}^{E(\frac{n-1}{2})} 2\lambda_{2k+1} X^{2k+1} = 0 $ (car $ P(X) = P(-X) $)
D'où $ \forall k \in [0, E(\frac{n-1}{2})] $ $ \lambda_{2k+1} = 0 $
Un résultat n'est jamais évident tant qu'on n'arrive pas à en apporter la preuve directementsim' a écrit :le résultat me paraît tellement évident...
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Dernière modification par Necklor le 26 févr. 2011 21:11, modifié 2 fois.
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