Séries
Séries
Bonjour,
J'aimerais savoir si le résultat suivant est vrai. Il me parait moral, mais je n'arrive pas à le prouver (ou à l'infirmer par un contre-exemple ).
" Soit (an) une suite de réels strictement positifs, terme général d'une série convergente. Alors (an) est un petit 'o' de 1/n ".
Merci =)
J'aimerais savoir si le résultat suivant est vrai. Il me parait moral, mais je n'arrive pas à le prouver (ou à l'infirmer par un contre-exemple ).
" Soit (an) une suite de réels strictement positifs, terme général d'une série convergente. Alors (an) est un petit 'o' de 1/n ".
Merci =)
Re: Séries
Bonjour,
Sans hypothèse de décroissance de $ (a_n) $, c'est faux. Un contre exemple : $ a_n = \frac{1}{n} $ si n est un carré, $ a_n = 0 $ sinon.
Par contre, le résultat est vrai si $ (a_n) $ est décroissante.
Sans hypothèse de décroissance de $ (a_n) $, c'est faux. Un contre exemple : $ a_n = \frac{1}{n} $ si n est un carré, $ a_n = 0 $ sinon.
Par contre, le résultat est vrai si $ (a_n) $ est décroissante.
Re: Séries
Il est faux. Tu peux par exemple prendre an = 1/n si n a une racine entière, 0 sinon.
Il devient vrai si tu prends pour an une suite décroissante.
EDIT: Ah, devancé !
Il devient vrai si tu prends pour an une suite décroissante.
EDIT: Ah, devancé !
Re: Séries
D'accord =) Quelqu'un connait une preuve du résultat si on suppose que (an) est décroissante?
Re: Séries
Tu peux le montrer à la main de la façon suivante :
Par l'absurde, on suppose que : $ \exist \varphi $ une extraction vérifiant de plus $ \varphi(n+1) \geq 2*\varphi (n) $ telle que $ \forall \ n \ a_{\varphi(n)} \geq \frac{\mu}{\varphi(n)} $ avec $ \mu > 0 $.
Ensuite, tu sommes tout par paquet en minorant $ a_{p} $ par $ \frac{\mu}{\varphi(n+1)} $ lorsque p décrit l'intervalle $ [\varphi(n)+1, \varphi(n+1)] $: ça diverge !
edit : il y avait une petite coquille.
Par l'absurde, on suppose que : $ \exist \varphi $ une extraction vérifiant de plus $ \varphi(n+1) \geq 2*\varphi (n) $ telle que $ \forall \ n \ a_{\varphi(n)} \geq \frac{\mu}{\varphi(n)} $ avec $ \mu > 0 $.
Ensuite, tu sommes tout par paquet en minorant $ a_{p} $ par $ \frac{\mu}{\varphi(n+1)} $ lorsque p décrit l'intervalle $ [\varphi(n)+1, \varphi(n+1)] $: ça diverge !
edit : il y avait une petite coquille.
Dernière modification par gardener le 02 mars 2011 01:52, modifié 2 fois.
Doctorant Maths-Info, ancien ENS Cachan.
Re: Séries
(Et bien veillé à dire que (an) est de signe constant pour pouvoir sommer par tranche)
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Re: Séries
une autre façon possible (qui me semble plus facile) est de montrer que n*an tend vers 0, pour cela on peut utiliser les sommes partielles, la décroissance, et le reste en montrant tout d'abord que 2n*a2n tend vers 0.
en espérant ne pas me tromper
en espérant ne pas me tromper