Anneau Unitaire and Corps

[drg]

Bonsoir,

Je dois prouver que l'assertion suivante est fausse:

Pour tout anneau commutatif R, il existe un corps F tel que R est un sous anneau de F.

Je n'arrive pas a trouver un contre example. J'ai pensé aux groupes quotients du types Z/4Z et Z/pZ, ou p serait premier (et donc faisant de Z/pZ un corps), mais la encore il se trouve que Z/4Z est bien un sous anneau de F.

Quelqu'un aurait-il une suggestion?

Merci!

[drg]

Qui est F dans ton contre-exemple ? (Si c'est $ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $, ça ne marche pas, $ \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} $ n'en est pas un sous-anneau...)

Indice : dans un corps, la multiplication doit être intègre.

Qu'entends-tu par integre? (dsl le voc me manque dans ce domaine)

Oui Z/4Z n'est pas un sous anneau de Z/pZ en effet, si p=5 ou au dela c'est facile de voir que ca ne marche pas. My bad.
Je vais continuer de plancher dessus.

[HyneX]

Intégre veut dire que si a*b=0, alors a = 0 ou b = 0.

Il suffit de construire un anneau qui n'est pas intègre, par exemple l'anneau des fonctions continues de R

[gardener]

Z/4Z marche très bien comme contre exemple : 2*2=0. Si cet anneau était plongé dans un corps, on aurait l'existence d'un inverse pour 2 ce qui est absurde.

[drg]

Z/4Z marche très bien comme contre exemple : 2*2=0. Si cet anneau était plongé dans un corps, on aurait l'existence d'un inverse pour 2 ce qui est absurde.

Je crois que $ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $ est un contre exemple valide lorsque p est premier. Par contre tu dis "on aurait l'existence d'un inverse pour 2, ce qui est absurde". Pas sur de comprendre: ne doit-on pas avoir un inverse multiplicatif pour tout element (non nul) d'un corps?

J'espere que je me suis pas planté dans les traductions.

[nafpy]

Bonsoir,

Je dois prouver que l'assertion suivante est fausse:
Pour tout anneau commutatif R, il existe un corps F tel que R est un sous anneau de F.
Merci!

Juste pour l'exemple R=$ \mathbb{Q}[X] $ est bien inclu dans F=$ \mathbb{Q}(X) $ ?

[LB]

Oui car tout anneau intègre s'injecte dans son corps des fractions !

[drg]

Je crois que $ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $ est un contre exemple valide lorsque p est premier.

Ce n'est pas possible, car c'est un corps !

Par contre tu dis "on aurait l'existence d'un inverse pour 2, ce qui est absurde". Pas sur de comprendre: ne doit-on pas avoir un inverse multiplicatif pour tout element (non nul) d'un corps?

J'espere que je me suis pas planté dans les traductions.

Le raisonnement que te suggère gardener est :

-dans Z/4Z, 2*2=0 ;
-si Z/4Z est un sous-anneau d'un certain corps, alors 2 a un inverse dans ce corps, appelons-le x ;
-alors x*2=1, donc (x*2)*2=1*2=2, mais (x*2)*2=x*(2*2)=x*0=0.

Bien vu en effet... dommage j'ai rendu mon DM lundi dernier. M'enfin pas bien grave je pense que c'est la seule partie qui m'ait echappée. Merci pour votre aide, quoi qu'il en soit.