Bien vu ØļivierŏđÐ !ØļivierŏđÐ a écrit :Bonsoir,
Gyptone, il me semble repérer une erreur dans ton raisonnement sur ton avant-avant-dernier post.
Tu as :
$ \displaystyle i (AB-BA)=\frac 1 4 \left((M+\overline{M})(M-\overline{M}) $ $ - $$ (M-\overline{M})(M+\overline{M})\right)=\frac 1 2 (\overline{M}M-M\overline{M}) $
et non pasceci invalide toutes tes lignes de calcul suivantes et tu ne peux pas conclure à la nullité de $ \displaystyle M\overline{M}=0 $Gyptone a écrit : $ \displaystyle AB-BA=\frac 1 4 \left((M+\overline{M})(M-\overline{M}) $ $ - $$ (M-\overline{M})(M+\overline{M})\right)=\frac 1 2 (\overline{M}M-M\overline{M}) $
$ \displaystyle AB-BA = \frac 1{2i}(\bar MM-M\bar M) . $
On arrivera toujours à $ A^2+B^2=0 $,
Mais on aura $ AB=BA $ seulement si $ r\neq 0 $. Si $ r=0 $ on trouve facilement des contre-exemples avec $ AB\neq BA $
.. Any way .. Voici la généralisation sur laquelle je voulais enchaîner :
Soit $ V $ une algèbre sur le corps commutatif $ K $ de caractéristique $ \neq 2 $, et soient $ A,B\in V $ tels que $ A^2-p^2B^2=q(AB-BA) $ où $ p,q\in K,\ pq\neq 0 $
Montrer que $ A^2=p^2B^2,\ AB=BA $
