Energie électrostatique d'une distribution de charges.

[sknbernoussi]

Bonsoir tout le monde,
on considère dans le vide une distribution de charges de densité volumique $ \rho $ contenue entre deux sphères concentriques de rayons $ R_2 $ et $ R_1 $ ($ R_2>R_1 $).
On demande de calculer le champ puis le potentiel en tout point de l'espace : ce sont juste des calculs menés à partir de l'application du théorème de Gauss et de la relation $ \vec{E}=-\vec{grad}V $.
Maintenant, on demande de déduire de la relation qui lie l'énergie électrostatique $ U_e $ du système de charges, sa densité $ \rho $, et le potentiel $ V(r) $, l'expression de $ U_e $ en fonction de $ Q $, $ R_1 $, $ R_2 $, et $ \varepsilon_0 $ uniquement.
Moi je connais la relation entre l'énergie électrostatique $ U_e $ et la densité volumique d'énergie électrostatique $ \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 $. Donc je n'ai pas trop bien compris au début. Puis j'ai réfléchi à considérer un élément de la distribution et dire que $ dU_e=\frac{1}{2}dQ V(r) = 2 \pi \rho r^2 V(r) $. Mais je ne suis pas s^^ur.
Merci de poster un message.
Cordialement.

[sknbernoussi]

Autre question : est ce qu'il faut calculer l'énergie de l'espace entre les deux sphères, ou bien l'énergie en tout point de l'espace?
Cordialement.

[Kieffer Jean]

il y a deux solutions qui doivent donner le même résultat
soit tu sommes l'énergie électrostatique sur tout l'espace
$ E=\iiint \frac{\epsilon_0 E^2}{2}\ dV $

soit tu fais la méthode constructive, tu "apportes"' la couronne comprise entre r et r+dr de l'infini jusqu'à sa place alors que les charges pour r'<r sont déjà en place et créent le potentiel V'(r) (qu'il faut calculer)
soit
$ dE=4\pi r^2\ dr\ \rho V'(r) $ et donc
$ E=\int 4\pi r^2\ dr\ \rho V'(r) $

en y réfléchissant et en relisant ta solution doit marcher car on a aussi
$ E=\iiint \frac{\rho V}{2}d^3r $

[sknbernoussi]

Je comprend.
Je pense que la réponse qu'on attendait est $ \frac{1}{2} \int \rho d \tau V $