Exos sympas MP(*)
Re: Exos sympas MP(*)
Bonjour,
JeanN : oui, bien sûr. Mais ça pollue régulièrement le fil.
JeanN : oui, bien sûr. Mais ça pollue régulièrement le fil.
Re: Exos sympas MP(*)
V@J : tu m'as mal compris et/ou je me suis mal fais comprendre. Je demandais si tu avais une démonstration de
(n et phi(n) premiers entre eux => G cyclique)
sans récurrence sur le cardinal de G ?
Mais je m'arrête-là sur ce sujet, c'est pas le fil de la prépa agreg.
(n et phi(n) premiers entre eux => G cyclique)
sans récurrence sur le cardinal de G ?
Mais je m'arrête-là sur ce sujet, c'est pas le fil de la prépa agreg.
Re: Exos sympas MP(*)
Toujours par récurrence moi c'est celle là que j'avais vu (j'avais eu cet exo en spé d'ailleurs, puis j'étais tombé dessus quelques temps plus tard dans un livre) :
Et autant celui que j'ai donné comme trivial n'est franchement pas un exo facile (je n'y suis moi-même pas arrivé seul), autant celui là il a sa place ici à mon sens.
SPOILER:
MPSI/MP* -- Lycée du Parc
École Normale Supérieure -- Ulm
Ne répond pas aux relous par MP.
École Normale Supérieure -- Ulm
Ne répond pas aux relous par MP.
Re: Exos sympas MP(*)
Je ne serais pas aussi négatif... Ca peut faire un bon entrainement à un ads pour le lecteur intéressé...Magnéthorax a écrit :Bonjour,
JeanN : oui, bien sûr. Mais ça pollue régulièrement le fil.
Professeur de maths MP Lycée Sainte-Geneviève
Re: Exos sympas MP(*)
Bon, pour redescendre voilà quelques exercices sur la convexité, thème que l'on ne revoit parfois pas en spé. Je pourrais les poser sur le topic MPSI mais je pense que ce chapitre n'a pas encore été traité par pas mal de monde.
Montrer que si $ f:[0,+\infty[ \longrightarrow [0,+\infty[ $ est concave alors $ \forall (x,y) \in \mathbb{R}_{+}^{2}, f(x+y) \leqslant f(x)+f(y) $
Montrer que si $ f $ et $ g $ sont des fonctions convexes sur un intervalle $ I $ de $ \mathbb{R} $ et s'il existe des réels strictement positifs $ a $ et $ b $ tels que $ af+bg $ soit affine, alors $ f $ et $ g $ sont affines.
On considère ici une fonction $ f $ à valeurs strictement positives. Montrer que $ ln(f) $ est convexe si et seulement si $ \forall \alpha > 0 $, $ f^{\alpha} $ est convexe.
(Ultra-méga-archi-classique) Soit $ f:[a,b] \longrightarrow \mathbb{R} $ continue et vérifiant $ \forall (x,y) \in [a,b]^{2} $, $ f(\dfrac{x+y}{2}) \leqslant \dfrac{f(x)+f(y)}{2} $. Montrer que $ f $ est convexe.
Soit $ f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} $ de classe $ \mathcal{C}^{2} $ telle que $ f" $ s'annule en exactement $ n \in \mathbb{N} $ points. Quel est le nombre maximum de points d'intersection entre le graphe de $ f $ et une droite ? Quel est le nombre maximum de tangeantes que l'on peut mener au graphe de $ f $ à partir d'un point du plan ?
Re: Exos sympas MP(*)
Oui bon la démo est presque juste, j'ai oublié de dire que comme $ \varphi (n) $ et n sont premiers entre eux, les $ p_j $ ne divisent pas $ p_i - 1 $, et donc on a en vertu du troisième théorème de Sylow (je crois que c'est le troisième) l'unicité du $ p_i $-Sylow et donc les égalités suivantes. Voilà maintenant c'est justeNuhlanaurtograff a écrit :Il doit y avoir une erreur dans ta démonstration, car tu viens de "prouver" que $ S_3 $ est commutatif.Silvere Gangloff a écrit : On montre assez simplement, en utilisant la décomposition en facteurs premiers, que $ \varphi (n) $ et n premiers entre eux implique que n est un produit de nombres premiers et premiers entre eux deux à deux : $ n=p_1 ... p_s $. Les théorèmes de Sylow assurent qu'il existe des éléments $ g_1, ... g_s $ de $ G $ d'ordres respectifs $ p_1, ... p_s $, et que $ g_i g_j g_i ^{-1} $ est conjugué à $ g_j $, c'est à dire que c'est une puissance $ g_j ^{k_{i,j}} $ de $ g_j $. En combinant ces égalités, et en utilisant le fait que $ p_i $ et $ p_j $ sont premiers entre eux pour $ i \neq j $, on obtient $ g_j ^{k_{i,j}-1} = g_i ^{ k_{j,i}-1} = e $, et par conséquent, $ g_i $ et $ g_j $ commutent.
Le groupe engendré par les $ g_k $ est donc commutatif, et en utilisant les ordres, est de cardinal égal à celui de $ G $, ce qui termine la démonstration.
Mais bon c'est carrément hors programme.
Re: Exos sympas MP(*)
Soit M la somme des chiffres de $ 4444^{4444} $, et N la somme des chiffres de M.
Que vaut A la somme des chiffres de N ?
Que vaut A la somme des chiffres de N ?
Re: Exos sympas MP(*)
En plus l'exercice a été posé il me semble $ A - 4 $ fois sur ce forumvincentroumezy a écrit :Soit M la somme des chiffres de $ 4444^{4444} $, et N la somme des chiffres de M.
Que vaut A la somme des chiffres de N ?
Re: Exos sympas MP(*)
Désolé , j'aurais dû chercher.
M'enfin, quand on aime, on ne compte pas.
M'enfin, quand on aime, on ne compte pas.
Re: Exos sympas MP(*)
Ce qui est dommage pour un exercice de calcul.