Produit d'un cosinus

Luneth · Message par **Luneth** » 01 oct. 2006 11:01

Bonjour! Mon problème est le suivant : je dois prouver que $ \prod_{k=1}^{n}cos((\theta)/2^k)=(sin\theta)/(2^n sin(\theta/2^n)) $

J'ai pensé à utiliser le fait que $ cos(\theta/2)=sin(\theta)/(2sin(\theta/2)) $ pour ne plus avoir que des sinus. Mais après je ne vois pas comment de là on peut passer de $ cos(\theta/2) $ à $ cos(\theta/2^k) $. Si qqun peut éclairer ma ptite

, ca sera pas de refus

Merci d'avance.

emmo · Message par **emmo** » 01 oct. 2006 11:12

cos$ {\frac{\theta}{2^k} $=$ \frac{sin{\frac{\theta}{2^{k-1}}}} {2sin{\frac{\theta}{2^k}} $
et quand tu fais ton produit ça fait ce que tu veux^^
en espérant ne pas avoir de bêtises...

Luneth · Message par **Luneth** » 01 oct. 2006 11:22

Je crois que ça roule bien ton résultat emmo : il ne reste plus qu'à faire une simplification télescopique après. Merci bcp ^^

Message par **Chopichopi** » 01 oct. 2006 12:37

Un grand classique je pense

Je l'ai comme exemple dans mon cours!

emmo · Message par **emmo** » 01 oct. 2006 14:49

Chopichopi a écrit :Un grand classique je pense Je l'ai comme exemple dans mon cours!

pas moi...
justement je me demandais si ça pouvait tomber en khôlle...

Mû · Message par Mû » 01 oct. 2006 15:44

emmo a écrit :
Chopichopi a écrit :Un grand classique je pense Je l'ai comme exemple dans mon cours!
pas moi...
justement je me demandais si ça pouvait tomber en khôlle...

Carrément: c'est un exercice qui fait manipuler des formules de trigonométrie usuelles, le raisonnement par récurrence pour tout écrire proprement et les limites usuelles si on s'intéresse à ce qui se passe quand n tend vers l'infini. C'est en plein dans ce qu'on attend d'un élève de sup.

Romain10 · Message par **Romain10** » 01 oct. 2006 19:38

Salut,
Je viens de voir ce topic, et l'exo m'avait l'air simpa donc j'ai commencé à chercher! Je suis arrivé à ceci:
$ \frac{sin{\frac{\theta}{2^{k-1}}}} {2sin{\frac{\theta}{2^k}} $

Mais après je vois pas trop comment s'en sortir!J'ai pas trop l'abitude de manipuler des $ \prod $
Si quelqu'un peut me donner des pistes ou m'expliquer!
Merci
Romain

Luneth · Message par **Luneth** » 01 oct. 2006 21:42

@ Mû : En effet, pour les questions suivantes je dois prouver que la limite du produit obtenu quand n tend vers l'infini est égale à $ (sin\theta/)\theta $, puis refaire tout le raisonnement depuis le début, mais avec des tangentes cette fois

@ Romain10 : Une fois que tu as obtenu ce que tu as écrit, tu peux utiliser la simplification télescopique (ici sous une forme un peu modifiée), qui te donnera un truc plus cool à manipuler.

Romain10 · Message par **Romain10** » 01 oct. 2006 22:58

simplification télescopique??? c'est quoi ça?

Eti-N · Message par **Eti-N** » 02 oct. 2006 16:59

Romain10 a écrit :simplification télescopique??? c'est quoi ça?

Il y a des termes qui se simplifient lorsque l'on écrit le produit.