fonctions
Si elle est de classe C1, tu as même une fonction bijective :
Si f' continue sur un intervalle I et ne s'annule pas, on peut appliquer le théorème des valeurs intermédiaires, qui nous dira que f' est de signe constant sur I. On choisit f'(x) >0 pour tout x dans I (pour f'(x)<0, ça change rien à la démonstration pratiquement).
Dans ce cas, f est strictement monotone (dérivée toujours strictement positive). Du coup, on peut appliquer le théorème de bijection. Donc f est injective ET surjective sur I.
D'ailleurs on peut être moins contraignant avec f' et dire qu'elle est non nulle sur un intervalle : si elle s'annule sur un nombre fini de valeurs de x, ça marche ausi.
Si f' continue sur un intervalle I et ne s'annule pas, on peut appliquer le théorème des valeurs intermédiaires, qui nous dira que f' est de signe constant sur I. On choisit f'(x) >0 pour tout x dans I (pour f'(x)<0, ça change rien à la démonstration pratiquement).
Dans ce cas, f est strictement monotone (dérivée toujours strictement positive). Du coup, on peut appliquer le théorème de bijection. Donc f est injective ET surjective sur I.
D'ailleurs on peut être moins contraignant avec f' et dire qu'elle est non nulle sur un intervalle : si elle s'annule sur un nombre fini de valeurs de x, ça marche ausi.
Dernière modification par RP1700 le 03 oct. 2006 23:46, modifié 1 fois.
Re: fonctions
La question est mal posée: il faut bien préciser que la fonction est définie sur un intervalle.beornottobe a écrit :f est une fonction dérivable si f' ne s'annule pas alor f est injective cette prop n'est vérifié que lorsque f est de classe C1 n'est ce pas?
Dans ce cas, c'est même vrai pour une fonction dérivable mais pas forcément C1, cf le théorème de Darboux: une fonction dérivée possède la propriété des valeurs intermédiaires même si elle n'est pas continue, donc est de signe constant strict si elle ne s'annulle pas, et sur un intervalle ceci entraîne la monotonie stricte, donc l'injectivité.
Re: fonctions
La question est mal posée: il faut bien préciser que la fonction est définie sur un intervalle.
la fonction est défini sur un intervalle merci pour votre remarque prof
Dans ce cas, c'est même vrai pour une fonction dérivable mais pas forcément C1, cf le théorème de Darboux
est ce que que théorème de Darboux est dans le programme de spé
la fonction est défini sur un intervalle merci pour votre remarque prof
Dans ce cas, c'est même vrai pour une fonction dérivable mais pas forcément C1, cf le théorème de Darboux
est ce que que théorème de Darboux est dans le programme de spé