Bonsoir,
Je sollicite votre aide car je n'arrive pas à démontrer une assertion qui est, parait-il, très classique :
Si une matrice N est nilpotente, alors I-N est inversible d'inverse I+N+ ...+Np−1 avec p l’ordre de nilpotence de N
Je sais que $ (N-I)^n=(N-I)(I+N+ ,,, + N^(p-1)) $
Pour que la proposition soit vraie, il faut que $ (N-I)^n=I $ ce que je n'arrive pas à démontrer par le binôme de Newton
Si N est nilpotente...
Si N est nilpotente...
Dernière modification par taouya le 08 oct. 2013 19:51, modifié 2 fois.
Re: Si N est nilpotente...
Si tu multiplies une matrice par son inverse tu devrais obtenir quoi? Essaye alors dans ce cas!
The Axiom of Choice is obviously true, the Well-Ordering Principle is obviously false, and nobody knows about Zorn's Lemma. - Jerry Bona
Re: Si N est nilpotente...
Dans ce genre de question , on peut partir de la factorisation bien connue dans un anneau unitaire :
X^p -1 =( X-1)(1+X+X^2 + ...+ X^p-1)
si on l'applique à N et à Id
N^p- Id = (N-Id) ( Id + N+ .....+ N^p-1)
et comme N^p = 0 le résultat sur l'inversibilité de N-Id vient
X^p -1 =( X-1)(1+X+X^2 + ...+ X^p-1)
si on l'applique à N et à Id
N^p- Id = (N-Id) ( Id + N+ .....+ N^p-1)
et comme N^p = 0 le résultat sur l'inversibilité de N-Id vient