étude d'une fonction définie par une intégrale

[Paramécie]

Bonjour, j'ai quelques difficultés sur cet exo:
$ g(x)=\int_{x}^{x^2} {1/ln t} \,\text{d}{t} $
1) ensemble de défintiion de g?, c'est bon
2) Montrer que g est de classe C infini sur son ensemble de définition. c'est bon
3) Calculer g', j'ai trouvé g'(x)=(x-1)/lnx
4) Montrer que lim en 0+ de g =0 et lim en +oo de g =+oo
c'est là que ça coince, j'ai cherché à encadrer 1/lnt au voisinage de 0, bien sûr, je la majore par 0, mais je n'arrive pas à la minorer par quelque chose qui une fois intégré entre x et x² tende vers 0...., pareil pour la limire en +oo
5) Etude en 1 : montrer que u(t)=1/lnt -1/(t-1) se prolonge par continuité, en déduire lim en 1 de g=ln2
Je ne vois pas comment faire le lien entre g et u(t)...
Merci d'avance pour votre aide

[haihan]

Q4 : 1/ln(t) est lentement décroissante au voisinage de 0+ ne peut on pas espérer la minorer par une constante négative?

pour x>1 , $ \int_{x}^{x^2}\frac{1}{ln(t)}dt > \frac{x^2-x}{ln(x^2)} $
ou alors tu peux remarquer que g' tend vers + l'infini.

Q5: $ \int_x^{x^2}u=g(x)-\int_x^{x^2}\frac{1}{t-1}dt $
il faut alors montrer que la limite en 1 du membre de gauche est nul; se servir de la continuité de u en 1.

[tiger2]

Q4. Pour x compris entre 0 et 1 au sens strict, on prouve par décroissance de t->1/ln t que g(x)>=(x-x^2)/ln x.

Le tour est joué.
Q4. Si u est prolongeable par conti sur [0.5,1.5], u admet une primitive U sur cet intervalle. Ainsi int u=U(x^2)-U(x) ce qui tend vers U(1)-U(1)=0 car U est en fait simplement cont en 1.

Pour le membre de droite, il suffit de tropuver une jolie primitive de t->1/ln(t-1)
et de parvenir à l'expression -ln(x^2-1)(x+1).

[Paramécie]

Merci beaucoup pour votre aide, cependant, je bloque encore pour démontrer que l'on peut prolonger u par continuité en 1, je sais qu'il faut que je meontre que u a la même limite finie en 1 à droite et à gauche, mais j'ai tout essayé : developpements limités... san sy parvenir. Merci encore

[tiger2]

u(t)=(t-1-ln t)/((t-1)ln t)

donc u(t) equi (t-1)^2/(2(t-1)ln t) eq (t-1)/(2lnt) eq 1/2 pour t proche de 1.

[haihan]

On voit mieux la chose en se ramenant à 0 par le changement de variable x=t-1 et on utilise le DL de ln(1+x) au voisinage de 0.

[Paramécie]

Merci beaucoup haihan, je vais reprendre ce calcul de D.L., je dois vraiment être bête car c'est ce que j'ai déjà essayé mais sans résultat...

[tiger2]

On voit mieux la chose en se ramenant à 0 par le changement de variable x=t-1 et on utilise le DL de ln(1+x) au voisinage de 0.

je vois pas ce qu on voit mieux puisque c est strictement la même chose...

[haihan]

ouep c'est juste dans l'écriture, on est plus habitué à faire un DL de ln(1+x) en 0 que ln(t) en 1.

[tiger2]

ouep c'est juste dans l'écriture, on est plus habitué à faire un DL de ln(1+x) en 0 que ln(t) en 1.

C vrai que c plus proche du cours...