Exercices de MPSI

[Magnéthorax]

Bonjour,

soit $ n $ un entier naturel non nul et $ x_1,...,x_n $ des réels. Etant donnée une variable aléatoire $ X $ prenant les valeurs $ x_1,...,x_n $, on note $ p_1=\mathbb{P}(X=x_1),...,p_n=\mathbb{P}(X=x_n) $. On définit alors une fonction $ \mathcal{E} $ en posant $ \mathcal{E}(x)=\sum_{i=1}^n p_i (x_i-x)^2 $ pour tout réel $ x $. Démontrez que $ \mathcal{E} $ possède un minimum sur $ \mathbb{R} $ et identifiez, en termes "probabilistes", le réel où elle l'atteint ainsi que sa valeur. Que deviennent ces résultats si on définit la fonction $ \mathcal{E} $ en posant $ \mathcal{E}(x)=\sum_{i=1}^n p_i |x_i-x| $ pour tout réel $ x $ ? Comment adapteriez-vous cet énoncé si on supposait que $ X $ est une variable aléatoire à densité sur l'intervalle $ [0,1] $ ?

[Meijnir]

Bonjour,

soit $ n $ un entier naturel non nul et $ x_1,...,x_n $ des réels. Etant donnée une variable aléatoire $ X $ prenant les valeurs $ x_1,...,x_n $, on note $ p_1=\mathbb{P}(X=x_1),...,p_n=\mathbb{P}(X=x_n) $. On définit alors une fonction $ \mathcal{E} $ en posant $ \mathcal{E}(x)=\sum_{i=1}^n p_i (x_i-x)^2 $. Démontrez que $ \mathcal{E} $ possède un minimum sur $ \mathbb{R} $ et identifiez, en termes "probabilistes", le réel où elle l'atteint ainsi que sa valeur. Comment adapteriez-vous cet énoncé si on suppose maintenant que $ X $ est une variable aléatoire à densité sur l'intervalle $ [0,1] $ ?

SPOILER:

$ 1)\mathcal{E} $ est dérivable sur $ \mathbb{R} $ en tant que polynome.

$ \mathcal{E}(x)=\sum_{i=1}^n p_i (x_i^2-2xx_i+x^2) $
donc $ \mathcal{E}(x)=\sum_{i=1}^n p_i (x_i^2-2xx_i+x^2) $

et $ \mathcal{E'}(x)=\sum_{i=1}^n p_i (2x-2x_i)=2\sum_{i=1}^n p_i x-2\sum_{i=1}^np_ix_i $

or$ \sum_{i=1}^n p_i=1 $ donc
$ \mathcal{E'}(x)=2x-2\sum_{i=1}^np_ix_i $

$ \mathcal{E'}(x)=0<=>x=\sum_{i=1}^np_ix_i $

Comme $ \mathcal{E''}(x)=2 $,on a donc un minimum en x


$ \mathcal{E} $ admet comme minimum la variance de X en $ \sum_{i=1}^np_ix_i $(espérance de X)


3) Une idée pour la fonction:$ \mathcal{E}:x \mapsto \int_0^1 (t-x)^2f(t) dt $ avec $ f $ la fonction de densité de $ X $

[Magnéthorax]

Meijnir :

SPOILER:

1) Oui et comment s'appelle le minimum ? Sinon, vous n'êtes pas (du tout) obligé de passer par la dérivation pour établir l'existence du minimum : $ \mathcal{E} $ est une fonction polynôme du second degré 3) C'est bien cela. Le calcul qui suit est en tout point identique avec le cas fini.

[Meijnir]

Meijnir :

SPOILER:

1) Oui et comment s'appelle le minimum ? Sinon, vous n'êtes pas (du tout) obligé de passer par la dérivation pour établir l'existence du minimum : $ \mathcal{E} $ est une fonction polynôme du second degré 3) C'est bien cela. Le calcul qui suit est en tout point identique avec le cas fini.

Ce n'est pas la variance?

[Magnéthorax]

Si.

Vous avez essayé avec les valeurs absolues à la place des carrés ?

[Meijnir]

Si.

Vous avez essayé avec les valeurs absolues à la place des carrés ?

Oui j'ai essayé mais je ne vois pas comment on peut arriver à trouver le minimum avec les valeurs absolues.
(Parce que la dérivée seconde est nulle et on ne connait pas le signe de $ x-x_i $)

[mrbs56]

Bonjour, j'avais une question : qu'est ce que le fameux ensemble $ \mathbb{K} $ ? Il apparaît à peu près partout mais je ne trouve nul part à quoi il correspond ...

[Meijnir]

Bonjour, j'avais une question : qu'est ce que le fameux ensemble $ \mathbb{K} $ ? Il apparaît à peu près partout mais je ne trouve nul part à quoi il correspond ...

A ce que j'ai compris,c'est un ensemble quelconque.
Mais je l'ai plus trouvé en tant que corps quelconque(avec donc corps $ \mathbb{K} $).

[Magnéthorax]

Bonsoir,

en général on note $ \mathbb{K} $ un corps (körper auf deustch) quelconque (tout comme on note $ f $ une fonction quelconque). Un corps est un ensemble dont les éléments peuvent se combiner selon des règles précises. Vous verrez la définition en première année. Vous connaissez déjà quelques corps : $ \mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C} $.

[Meijnir]

$ \mathbb{N} $ et $ \mathbb{Z} $ ne le sont pas?