Condition Suffisante pour Dériver un Equivalent

[The TJFK]

Il est bien connu que si g est de signe constant et non intégrable au voisinage de +oo, et que f et g équivalentes en +oo, alors l'équivalence passe à l'intégration.
En revanche, il semble dans le cas général beaucoup plus délicat de dériver un équivalent, puisque un contrôle epsilonnesque, aussi fin qu'il soit, sur f (par différence avec une fonction g) ne présume en rien du comportement de f' (penser à f(t)=1 et g(t)=1+(e^-t)sin(e^(4t)))
Dès lors, l'on peut penser que pour éviter de tels effets, une éventuelle condition suffisante pour dériver un équivalent porterait sur la dérivée seconde de f (qui empêcherait des variations extrêmement rapides comme ci-dessus).

Je propose donc comme hypothèses (condition suffisante):
• f'/f admet une limite non nulle en +oo
• f''=O(f') en +oo

Qu'en pensez-vous ?

[Cyp]

Dans le premier tome d'analyse des oraux X-ENS de Cassini, il y a un exercice sur la dérivation d'équivalents. On y démontre que si $ f : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} $ est continue et croissance, en posant $ \displaystyle F(x)=\int_0^x{f(t)dt} $, si il existe $ \alpha > 0 $ tel que $ F(x) \sim \frac{x^\alpha}{\alpha} $ en $ +\infty $ alors $ f(x) \sim x^{\alpha - 1} $ en $ +\infty $. Ca t'aidera peut-être

[Philippe PATTE]

Il est bien connu que si g est de signe constant et non intégrable au voisinage de +oo, et que f et g équivalentes en +oo, alors l'équivalence passe à l'intégration.

Je comprends mieux l'incompréhension qu'il peut y avoir entre un candidat et un examinateur lors d'une épreuve orale.

En revanche, il semble dans le cas général beaucoup plus délicat de dériver un équivalent, puisque un contrôle epsilonnesque, aussi fin qu'il soit, sur f (par différence avec une fonction g) ne présume en rien du comportement de f' (penser à f(t)=1 et g(t)=1+(e^-t)sin(e^(4t)))

Si $ e(t) $ tend vers 0 en $ +\infty $ et $ g(t) = 1+e(t) $, alors $ f(t) \sim g(t) $, mais il est rare que $ f'(t) \sim g'(t) $.

Dès lors, l'on peut penser que pour éviter de tels effets, une éventuelle condition suffisante pour dériver un équivalent porterait sur la dérivée seconde de f (qui empêcherait des variations extrêmement rapides comme ci-dessus).

Je propose donc comme hypothèses (condition suffisante):
• f'/f admet une limite non nulle en +oo
• f''=O(f') en +oo

Qu'en pensez-vous ?

Pour en penser quelque chose, il faudrait un énoncé intelligible.

[The TJFK]

Je comprends mieux l'incompréhension qu'il peut y avoir entre un candidat et un examinateur lors d'une épreuve orale.

La propriété mentionnée en début de message est l'analogue continu du résultat au programme sur la sommation d'équivalents de séries divergentes (dont l'une à termes positifs), et est donc vraiment dans l'"adhérence" du programme...


Après avoir réfléchi quelques minutes, il y a une coquille dans ma conjecture précédente: Toutes les hypothèses portaient sur la même fonction f, aucune sur g, et ladite conjecture demeure vulnérable aux cas du style de:
f(t)=e^t et g(t)=e^t+sin(e^(4t))

Intuitivement, on aurait plutôt d'une part une condition qui porte sur g pour éviter un tel comportement "erratique" et une portant sur f pour assurer que f croît (ou décroît) suffisamment vite pour que la condition précédente assure un "calme" relatif

Conjecture:
Soit f et g de classe C2 de IR dans IR
On suppose:
(1)* f équivalent à g en +oo
(2)* f=O(f') en +oo
(3)* g''=O(g') en +oo
Alors f équivalent à g en +oo

Qu'en pensez-vous ?

Edit: Vu que la raison pour laquelle j'ai introduit l'hypothèse (2) est de faire en sorte que l'hypothèse (3) assure un contrôle suffisant de la fonction g, peut-être pourrait-on montrer une version encore plus forte dans laquelle (2) et (3) seraient remplacées par
(4)* fg''=O(f'g') en +oo ...

[Tompouce67]

C'est quoi l'intérêt de démontrer un cas ultra-particulier où c'est tellement facile de trouver des contre-exemples ?
Un truc qui nécessite plus de 3 hypothèses, c'est un peu lourd et sans doute assez limité d'application.

[Magnéthorax]

C'est quoi l'intérêt de démontrer un cas ultra-particulier où c'est tellement facile de trouver des contre-exemples ?
Un truc qui nécessite plus de 3 hypothèses, c'est un peu lourd et sans doute assez limité d'application.

C'est un exercice de réflexion un peu gratuit, l'efficacité mathématique en terme d'applications n'est peut-être pas le but recherché. Ce n'est jamais vraiment inutile de se poser des questions et d'essayer d'y répondre.

[The TJFK]

Pardon

Ce serait plutôt:

"Alors f' équivalent à g' en +oo"

[BeatTheByte]

Alors j'ai peut-être calculé un peu vite mais il me semble qu'en prenant g(x)=exp(x) et f(x)=exp(x)*(1+sin(x^2)/(4*x)) on obtient un contre-exemple...

[Jay Olsen]

Bonne vacances

[The TJFK]

Je t'en prie, bon vent !