(Résolu) [Probas] Formule de Poincaré, épreuves de Bernoulli

[Wenneguen]

Bonjour,

j'ai quelques problèmes à partir de la question 4 de cet exercice :



La prof nous a dit de commencer par écrire :

$ P\left(\bigcap\limits_{i=1}^n \{X_i=0\}\right)= 1 - P\left(\bigcup\limits_{i=1}^n \{X_i=1\}\right) $ $ = 1 - \sum\limits_{k=1}^n (-1)^{k+1} \sum\limits_{i_1<...<i_k}
P \left(\{X_{i_1}=1\} \bigcap ... \bigcap \{X_{i_k}=1 \} \right) $ (formule de Poincaré)

Mais je ne vois pas comment poursuivre ; j'ai déjà un peu galéré à calculer $ P \left(\{X_{i}=1\} \bigcap \{X_{j}=1 \} \right) $, alors $ P \left(\{X_{i_1}=1\} \bigcap ... \bigcap \{X_{i_k}=1 \} \right) $...

[Wenneguen]

Exact, j'a été trop vite et j'ai " oublié " le " 1 - " : j'édite mon message.

Ce que j'ai trouvé à la question 3 plutôt, non ?

Pour la 2 j'ai simplement :

$ P(\{X_i=1\})=\dfrac{1}{n} $ et $ P(\{X_i=0\})=1- \dfrac{1}{n} $

Pour la 3 j'ai :

$ P(\{X_i=1\}\bigcap\{X_j=1\})=\dfrac{(n-2)!}{n!} $

$ P(\{X_i=1\}\bigcap\{X_j=0\})=P(\{X_i=1\}) $ $ - $ $ P(\{X_i=1\}\bigcap\{X_j=1\})= \dfrac{n-2}{(n-1)n} $

$ P(\{X_i=0\}\bigcap\{X_j=1\}) = P(\{X_i=1\}\bigcap\{X_j=0\}) = $ $ \dfrac{n-2}{(n-1)n} $

$ P(\{X_i=0\}\bigcap\{X_j=0\}) = P(\{X_i=0\}) - $ $ P(\{X_i=0\}\bigcap\{X_j=1\}) =\dfrac{n^2-3n+3}{(n-1)n} $

[Wenneguen]

C'est bon j'ai fini l'exo